Axioma del infinito
En teoría de conjuntos, el axioma del infinito es un axioma que garantiza la existencia de un conjunto con un número infinito de elementos.
Enunciado
El axioma del infinito asegura la existencia de un conjunto infinito en el sentido de Dedekind: un conjunto que puede ponerse en correspondencia biyectiva con un subconjunto propio de sí mismo. El enunciado más habitual se basa en propiedad equivalente del conjunto inductivo: Plantilla:Definición Es decir, se postula la existencia de un conjunto inductivo, es decir, que contiene al conjunto vacío, y al «sucesor» Plantilla:Math de cada uno de sus elementos Plantilla:Math. De este modo se asegura la existencia de un conjunto que contiene a los números naturales en la construcción conjuntista habitual: Plantilla:Definición
Independencia
El axioma del infinito (AI) no puede demostrarse a partir del resto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel (ZF), si estos son consistentes —denotados en conjunto como ZF−AI—.[1] Puede probarse que todos ellos son ciertos al restringirse a un «universo» de conjuntos finitos escogidos con cuidado (los conjuntos hereditariamente finitos). Es decir, los axiomas de ZF —incluyendo AI— demuestran la existencia de un modelo para ZF−AI+¬AI —ZF sustituyendo AI por su negación—. Por lo tanto, una demostración de AI a partir de ZF−AI daría lugar a una demostración de la consistencia de ZF−AI, en contradicción con el segundo teorema de incompletitud de Gödel. La situación es idéntica en la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel.
Referencias
Plantilla:Control de autoridades
- ↑ El razonamiento no necesita del axioma de elección, y la conclusión lo incluye: en el modelo de los conjuntos hereditariamente finitos, se cumple dicho axioma.