Ver el código de «Teorema de los números primos»

En [[teoría de números]], el '''teorema de los números primos''' es un enunciado que describe la distribución [[análisis asintótico|asintótica]] de los [[números primos]]. Este teorema da una descripción general de cómo están distribuidos los números primos en el conjunto de los números naturales. Esto formaliza la idea intuitiva de que los primos son menos comunes cuanto más grandes son. Es uno de los teoremas más importantes de la historia de las matemáticas, no solo por su belleza sino por su influencia en el desarrollo posterior de la investigación de los números primos.<ref> Gracián, Enrique: «Los números primos. Un largo camino al infinito» ISBN  978-84-473-6625-5, pág 77</ref>

El teorema también es conocido como '''teorema del número primo'''<ref>Introducción a la teoría analítica de números primos, T. M. Apostol, pág.98; ISBN 84-291-5006-4</ref> o '''teorema del número de primos'''.

== Expresión del teorema ==
[[Archivo:PrimeNumberTheorem.png|thumb|right|300px|Gráfico comparativo de π(''x'') (rojo), ''x'' / ln ''x'' (verde) y Li(''x'') (azul).]]
Sea <math>\pi(x)\,</math>la [[función contador de números primos]], que denota la cantidad de primos que no exceden a <math>x\,</math>. El teorema establece que:<ref>Niven y Zuckerman: ''Introducción a la teoría de números'' ISBN 968-18-0669-7, pp.23 y 24</ref>

{{teorema|<math>\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}</math>, donde ''<math>\ln (x)</math>'' es el [[logaritmo natural]] de <math>x</math>.}}

Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores de <math>x</math> muy grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para valores de <math>x\,</math>muy grandes es casi igual a 1.

Una mejor aproximación que la anterior viene dada por la [[logaritmo integral|integral logarítmica desplazada]]:

{{teorema|<math>\pi(x) \approx \operatorname{Li} (x)</math> , donde ''<math>\operatorname{Li} (x)</math>'' es la [[logaritmo integral|integral logarítmica desplazada]] de <math>x</math>.}}

== Historia ==
En 1792 o 1793,<ref> Savitt, David (en inglés). [http://www.math.cornell.edu/~web401/steve.gauss17gon.pdf «The Mathematics of Gauss.»] [[Cornell University]]. Consultado el 13 de junio de 2015.</ref> estando aún en el [[Universidad Técnica de Brunswick|Collegium Carolinum]], y siempre según el propio Gauss («ins Jahr 1792 oder 1793»),<ref>Gauss, C. F. ''Werke'', Bd 2, 1st ed, 444-447. Göttingen 1863.</ref> este anotó en su libreta de notas:

:: «Números primos menores que ''a'' (= ∞) ''a''/l''a''», que en lenguaje moderno quiere decir que π(''a'') para valores cada vez más grandes se acerca al cociente ''a''/ln''a'') y se considera como "la primera conjetura del teorema de los números primos". Además la función π(''x''), que indica la cantidad de números primos que no superan a ''x,'' fue definida por Gauss.<ref>Todo un capítulo, el cuarto se dedica a la relación de logaritmos y primos en «Los números primos. Un largo camino al infinito» de Enrique Gracián, ISBN 978-84-473-6625-5</ref>

El teorema de los números primos también fue conjeturado por [[Adrien-Marie Legendre]] en 1798, indicando que π(''x'') parecía tener la forma ''a''/(''A'' ln(''a'') + ''B''), donde ''A'' y ''B'' son constantes no especificadas. En la segunda edición de su libro de teoría de números (1808) hizo una conjetura más precisa, indicando que ''A'' = 1 y ''B'' = −1.08366.<ref name="Sidki">Said Sidki: Indtoduçao à teoria dos números, impa 1975</ref>  La conjetura fue posteriormente refinada por [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] con la expresión que, actualmente, se asocia más frecuentemente al teorema. Prestaron contribuciones significativas sobre esta proposición [[Legendre]], Gauss, [[Dirichlet]], [[Chebychev]] y [[Riemann]].<ref name="Sidki"/>

La demostración formal del teorema la hicieron de forma independiente tanto [[Jacques Hadamard]] como [[Charles-Jean de la Vallée Poussin]] en el año 1896. Ambas demostraciones se basaban en el resultado de que la [[función zeta de Riemann]] <math>\zeta(z)\,</math>no tiene ceros de la forma ''1 + it'' con ''t > 0''. En realidad la demostración se hizo sobre una expresión algo más estricta de lo que se indica en la definición anterior del teorema, siendo la expresión demostrada por Hadamard y Poussin la siguiente:

<center>
<math>\pi(x)\approx\mbox{Li}(x)</math>
</center>
donde
<center>
<math>\mbox{Li}(x)=\int_{2}^{x}\frac{dy}{\ln(y)}</math>.
</center>

Desde 1896 la expresión asociada al teorema de los números primos ha sido mejorada sucesivamente, siendo la mejor aproximación actual la dada por:
<center>
<math>\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \, \exp \left( -\frac{A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}} \right) \right)</math><br />
</center>
donde <math>O(f(x))\,</math>se define como la función asintótica a <math>f(x)\,</math>y <math>A\,</math>es una constante indeterminada.

Para valores de <math>x\,</math>pequeños se había demostrado que <math>\pi(x)<\mbox{Li}(x)\,</math>, lo que llevó a conjeturar a varios matemáticos en la época de Gauss que <math>\mbox{Li}(x)\,</math>era una cota superior estricta de <math>\pi(x)\,</math>(esto es que la ecuación <math>\pi(x) - \mbox{Li}(x) = 0\,</math>no tiene soluciones reales). No obstante, en 1912 [[J. E. Littlewood]] demostró que dicha cota es cruzada para valores de <math>x\,</math>suficientemente grandes. El primero de ellos se conoce como primer número de Skewes, y actualmente se sabe que es inferior a <math>\scriptstyle 10^{317}\,</math>, aunque se piensa que puede ser inferior incluso a <math>\scriptstyle 10^{176}\,</math>. En 1914 Littlewood amplió su demostración con la inclusión de múltiples soluciones a la ecuación <math>\pi(x) - \mbox{Li}(x) = 0\,</math>. Muchos de estos valores y hallazgos están asociados a la validez de la [[hipótesis de Riemann]].

== Relación con la hipótesis de Riemann ==

Dada la conexión que hay entre la [[función zeta de Riemann]] ζ(''s'') y [[función contador de números primos|π(''x'')]], la [[hipótesis de Riemann]] es muy importante en teoría de números, y por supuesto, en el teorema de los números primos.

Si la hipótesis de Riemann se cumple, entonces el término error que aparece en el teorema de los números primos puede acotarse de la mejor manera posible. Concretamente, [[Helge von Koch]] demostró en 1901 que

:<math> \pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln x\right). </math>

[[si y sólo si]] la hipótesis de Riemann se cumple. Una variante refinada del resultado de Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que la hipótesis de Riemann es equivalente al siguiente resultado:

:<math>|\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln(x), \qquad \text{para todo } x \ge 2657. </math>

== Aproximaciones para el enésimo número primo ==

Como consecuencia del teorema de los números primos, se obtiene una expresión [[asíntota|asintótica]] para el enésimo número primo, denotado por ''p''<sub>''n''</sub>:
:<math>p_n \approx n \ln n.</math>
Una aproximación mejor es:
:<math> p_n = n \ln n + n \ln \ln n + \frac{n}{\ln n} \big( \ln \ln n - \ln n- 2 \big) 
+ O\left( \frac {n (\ln \ln n)^2} {(\ln n)^2}\right).</math><ref>{{cita publicación|autor=Michele Cipolla|título=La determinazione assintotica dell'n<sup>imo</sup> numero primo|año=1902|revista=Matematiche Napoli|volumen=3|páginas=132-166}}</ref>

== Teorema de los números primos para progresiones aritméticas ==

Sea <math>\pi_{n,a}(x)</math> la función que denota el número de primos en una [[progresión aritmética]] ''a'', ''a'' + ''n'', ''a'' + 2''n'', ''a'' + 3''n'', … menor que ''x''. [[Dirichlet]] y [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] conjeturaron, y [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|Vallée-Poussin]] demostró, que, si ''a'' y ''n'' son [[coprimo]]s, entonces

:<math>
\pi_{n,a}(x) \sim \frac{1}{\varphi(n)}\mathrm{Li}(x),
</math>

donde φ(·) es la [[función φ de Euler]]. En otras palabras, los números primos se distribuyen uniformemente entre los residuos de clases [''a''] [[aritmética modular|módulo]] ''n'' con mcd(''a'', ''n'') = 1. Esto puede demostrarse usando métodos similares utilizados por Newman en su demostración del teorema de los números primos.<ref>{{cita publicación|autor=Ivan Soprounov|url=http://academic.csuohio.edu/soprunov_i/pdf/primes.pdf|título=A short proof of the Prime Number Theorem for arithmetic progressions|año=1998}}</ref>

El [[teorema de Siegel–Walfisz]] da una buena estimación de la distribución de los números primos en los residuos de clases.

=== Carrera de números primos ===

Aunque tenemos, en particular, que

:<math>
\pi_{4,1}(x) \sim \pi_{4,3}(x), \,
</math>

empíricamente los primos congruentes con 3 son más numerosos y están casi siempre delante en esta «carrera de números primos», la primera inversión se produce en ''x'' = 26,861.<ref name="Granville Martin MAA">
{{cita publicación
 | doi = 10.2307/27641834
 | last1 = Granville | first1 = Andrew
 | last2 = Martin | first2 = Greg
 | enlaceautor = Andrew Granville
 | fecha = enero de 2006 
 | título = Prime Number Races
 | publicación = American Mathematical Monthly
 | volumen = 113 | número = 1 | páginas = 1–33
 | url = http://www.dms.umontreal.ca/%7Eandrew/PDF/PrimeRace.pdf
 | jstor = 27641834
}}</ref>{{Rp|1–2}} Sin embargo, Littlewood mostró en 1914<ref name="Granville Martin MAA" />{{Rp|2}} que hay un número infinito de cambios de signo de la función

:<math>
\pi_{4,1}(x) - \pi_{4,3}(x), \, </math>

de manera que el liderato de esta carrera cambia sucesivamente infinitas veces. El fenómeno de que π<sub>4,3</sub>(''x'') está por delante la mayor parte del tiempo se llama [[polarización de Chebyshev]]. La carrera de los números primos generalizada a otros módulos es objeto de numerosas investigaciones; Pál Turán preguntó si se da siempre el caso de que π(''x'';''a'',''c'') y π(''x'';''b'',''c'') cambian posiciones cuando ''a'' y ''b'' son coprimos con ''c''.<ref name=GuyA4>{{cita libro |apellido=Guy | nombre=Richard K. | enlaceautor=Richard K. Guy | título=Unsolved problems in number theory | editorial=[[Springer-Verlag]] |edición=3rd | año=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 | at=A4 }}</ref>  Granville y Martin le dan una exposición completa y estudiada.<ref name="Granville Martin MAA" />

== Referencias ==
{{listaref}}
* {{cita web |url=http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf |título= The elementary proof of the prime number theorem:An historical perspective|fechaacceso=10 de febrero de 2011|autor=Dorian Goldfeld|formato=PDF |idioma=inglés}}

== Enlaces externos ==
* {{MathWorld|PrimeNumberTheorem|Prime Number Theorem}}
* {{planetmath reference|id=199|title=Prime number theorem}}
* [http://numerentur.org/teorema-del-numero-primo/ Teorema del numero primo Evolución / Valores de π(x), Li(x) y R(x) comparados] (en español)
{{ORDENAR:Numeros primos, teorema}}

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