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En la teoría de [[Proceso estocástico|procesos estocásticos]], el '''Teorema de Karhunen-Loève''' (así llamado debido a [[Kari Karhunen]] y [[Michel Loève]]) es una representación de un proceso estocástico como una [[combinación lineal]] [[Infinito|infinita]] de [[Función ortogonal|funciones ortogonales]]. Esta representación es análoga a la representación en [[series de Fourier]] de una función definida en un intervalo acotado de números reales. A diferencia de una serie de Fourier, en la cual los coeficientes son [[Número real|números reales]] y la base de expansión está compuesta por [[Función trigonométrica|funciones senoidales]] (es decir, funciones [[Trigonometría#Funciones trigonométricas|seno]] y [[Trigonometría#Funciones trigonométricas|coseno]]), los coeficientes del teorema de Karhunen-Loève son [[Variable aleatoria|variables aleatorias]] y la base de expansión depende del proceso. De hecho, la base de funciones ortogonales que se usa para la representación queda determinada por la [[Covarianza|función de covarianza]] del proceso. Si vemos un proceso estocástico como una ''función'' aleatoria '''F''', es decir, una en la que el valor aleatorio es una función en un intervalo [''a'', ''b''], entonces este teorema puede considerarse como una expansión ortonormal aleatoria de '''F'''.

En el caso de un proceso estocástico ''centrado'' {'''X'''<sub>''t''</sub>}<sub> ''t'' ∈ [''a'', ''b'']</sub> (donde ''centrado'' se refiere a que los valores esperados E('''X'''<sub>''t''</sub>) están definidos y son iguales a 0 para todo ''t''), el satisfacer una condición de continuidad técnica, admite la descomposición
:<math> \mathbf{X}_t = \sum_{k=1}^\infty \mathbf{Z}_k e_k(t). </math>
donde '''Z'''<sub>''k''</sub> son variables aleatorias [[no correlacionadas]] de a pares y las funciones ''e''<sub>''k''</sub> son funciones reales continuas en [''a'', ''b''], [[ortogonal]]es de a pares en ''L''<sup>2</sup>[''a'', ''b'']. El caso general de un proceso no centrado puede representarse expandiendo la función de expectación (que es un función no-aleatoria) en la base ''e''<sub>''k''</sub>.

Aún más, si el proceso es [[Distribución normal|Gaussiano]], entonces las variables aleatorias '''Z'''<sub>''k''</sub> son Gaussianas y [[Independencia estadística|estocásticamente independientes]]. Este resultado generaliza la [[Análisis del componente principal|transformada de Karhunen-Loève]]. Un ejemplo importante de un proceso estocástico real centrado en [0,1] es el [[proceso de Wiener]] y el teorema de Karhunen-Loève permite obtener una representación ortogonal canónica de éste. En este caso, la expansión consiste de funciones senoidales.

A la expansión anterior en variables aleatorias no correlacionadas se la conoce también como la ''expansión de Karhunen-Loève''.

== Formulación del teorema ==

Formulamos el teorema en el caso que las variables aleatorias sean reales, aunque el teorema es válido aún para funciones con valores vectoriales.

Si '''X''' e '''Y''' son variables aleatorias, el [[producto interno]] está definido por
:<math> \langle \mathbf{X}|\mathbf{Y} \rangle = \operatorname{E}(\mathbf{X}\mathbf{Y})</math>

El producto interno está bien definido en caso que '''X''' e '''Y''' tengan [[momento (mathematica)|momentos]] de segundo orden finitos, es decir, que '''X''' e '''Y''' sean de [[cuadrado integrable]]. El producto interno tiene estrecha relación con la [[covariancia]] y la [[correlación]]. Por ejemplo, para variables aleatorias cuyo valor esperado es nulo, la covariancia y el producto interno son idénticos. Si {'''X'''<sub>''t''</sub>}<sub>''t''</sub> es un proceso centrado, la función de covariancia de {'''X'''<sub>''t''</sub>}<sub>''t''</sub> es
:<math> \operatorname{Cov}_{\mathbf{X}}(t,s) = \langle \mathbf{X}_t | \mathbf{X}_s \rangle = \operatorname{Cov}( \mathbf{X}_t,\mathbf{X}_s).</math>

Nótese que si {'''X'''<sub>''t''</sub>}<sub>''t''</sub> es un proceso centrado y ''t''<sub>1</sub>, ≤ ''t''<sub>2</sub>, ..., ≤ ''t''<sub>''N''</sub> son puntos en el intervalo [''a'', ''b''], entonces
:<math> \sum_{k,\ell} \operatorname{Cov}_{\mathbf{X}}(t_k,t_\ell) = \operatorname{Var}\left(\sum_{k=1}^N \mathbf{X}_k\right) \geq 0. </math>

'''Teorema'''. Consideremos un proceso estocástico {'''X'''<sub>''t''</sub>}<sub>''t''</sub> en que el índice ''t'' recorre el intervalo [''a'', ''b''], y con función de covariancia Cov<sub>'''X'''</sub>. Supongamos además que la función Cov<sub>'''X'''</sub>(''t'',''s'') sea conjuntamente continua en las variables ''t'', ''s''. Entonces Cov<sub>'''X'''</sub> puede ser considerado como un núcleo positivo definido. Por el [[Teorema de Mercer]], el operador integral ''T'' correspondiente que actúa en L<sup>2</sup>[''a'',''b''] (relativo a la medida de Lebesgue en [''a'',''b'']) tiene una [[base ortonormal]] de [[vector propio|vectores propios]]. Sea {''e''<sub>''i''</sub>}<sub>''i''</sub> la secuencia de los vectores propios de ''T'' correspondientes a los [[Valor propio|valores propios]] no nulos y definamos:
:<math> \mathbf{Z}_i = \int_a^b \mathbf{X}_t e_i(t) dt. </math>
Entonces '''Z'''<sub>''i''</sub> son variables aleatorias centradas y ortogonales y
:<math> \mathbf{X}_t = \sum_{i=1}^\infty e_i(t) \mathbf{Z}_i </math>
donde la convergencia es en media cuadrática y uniforme en ''t''. Además
:<math> \operatorname{Var}(\mathbf{Z}_i) = \operatorname{E}(\mathbf{Z}_i^2) = \lambda_i.</math> 
adonde λ<sub>''i''</sub> es el valor propio correspondiente al vector propio ''e''<sub>''i''</sub>.

En el enunciado del teorema, la integral que define '''Z'''<sub>''i''</sub> puede ser definida como el límite en la media de [[sumas de Cauchy]] de variables aleatorias:
:<math> \sum_{k=0}^{\ell-1} \mathbf{X}_{\xi_k} e_i(\xi_k) (t_{k+1} - t_k), </math>
donde
:<math> a = t_0 \leq \xi_0 \leq t_1 \leq \cdots \leq \xi_{\ell-1} \leq t_n = b </math>

Dado que el límite en la media de variables aleatorias Gaussianas conjuntas es Gaussiana conjunta, y dado que las variables aleatorias Gaussiana conjuntas (centradas) son independientes si y solo si son ortogonales, podemos concluir que:

'''Teorema'''. Las variables '''Z'''<sub>''i''</sub> tienen una distribución Gaussiana conjunta y son estocásticamente independientes si el proceso original {'''X'''<sub>''t''</sub>}<sub>''t''</sub> es Gaussiano.

En el caso Gaussiano, dado que las variables '''Z'''<sub>''i''</sub> son independientes, podemos agregar:

:<math> \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^N e_i(t) \mathbf{Z}_i(\omega) = \mathbf{X}_t(\omega) </math>
casi seguramente.

Nótese que al generalizar el teorema de Mercer, podemos reemplazar el intervalos [''a'', ''b''] con otros espacios compactos ''C'' y la medida de Lebesgue en [''a'', ''b''] con una medida de Borel que tenga soporte en ''C''.

== El proceso de Wiener ==

Existen varias caracterizaciones equivalentes al proceso de Wiener, que es una formalización matemática de [[movimiento browniano]]. Aquí lo veremos cómo el proceso Gaussiano centrado {'''B'''<sub>''t''</sub>} con función de covarianza
:<math> \operatorname{Cov}_{\mathbf{B}}(t,s) =\min (s,t). </math>

Es sencillo determinar los vectores propios del núcleo de la covarianza. Ellos son
:<math> e_k(t) = \sqrt{2} \sin \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi t </math>
con los siguientes valores propios correspondientes:
:<math> \lambda_k = \frac{4}{(2 k -1)^2 \pi^2}. </math>

Esto nos da la siguiente representación del proceso de Wiener:

'''Teorema'''. Existe una secuencia {'''W'''<sub>''i''</sub>}<sub>''i''</sub> de variables aleatorias Gaussianas independientes con media nula y varianza unitaria tal que:
:<math> \mathbf{B}_t = \sqrt{2} \sum_{k=1}^\infty \mathbf{W}_k \frac{\sin \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi t}{ \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi}. </math>
La convergencia es uniforme en ''t'' y en la norma L<sup>2</sup>, es decir
:<math> \operatorname{E}\left(\mathbf{B}_t - \sqrt{2} \sum_{k=1}^n \mathbf{W}_k \frac{\sin \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi t}{ \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi} \right)^2 \rightarrow 0 </math>
uniformemente en ''t''.

== Referencias ==

* I. Guikhman, A. Skorokhod, ''Introduction a la Théorie des Processus Aléatoires'', Éditions MIR, 1977
* B. Simon, ''Functional Integration and Quantum Physics'', Academic Press, 1979

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