Ver el código de «Sucesión de Fibonacci»

[[Archivo:First members of Fibonacci sequence.svg|thumb|280px|[[Gráfica de una función|Gráfica]] de la sucesión de Fibonacci hasta <math>f_{7}</math>]]
En [[matemáticas]], la '''sucesión o serie de Fibonacci''' es la siguiente [[Sucesión matemática|sucesión]] infinita de [[Número natural|números naturales]]:

:<math>0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,</math> <math>89,</math> <math>144,</math> <math>233,</math> <math>377,</math> <math>610,</math> <math>987,</math> <math>1597\ldots \,</math>

[[Archivo:Fibonacci spiral 34.svg|right|thumb|280px|La espiral de Fibonacci: una aproximación de la [[espiral dorada|espiral áurea]] generada dibujando arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión;<ref>{{cita libro | url = http://books.google.com/books?id=CDEEAwAAQBAJ&pg=PA81| título = Exploring the World of Mathematics: From Ancient Record Keeping to the Latest Advances in Computers | autor = John Hudson Tiner | editorial = Master Books división de New Leaf Publishing Group | año = 2004 | isbn = 9781614581550 }}</ref> adosando sucesivamente cuadrados de lado 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.]]

La sucesión comienza con los números 0 y 1,<ref>La leyenda que motivó esta sucesión "empezó con una pareja de conejos". Vorobiov: Números de Fibonacci</ref>  a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la [[relación de recurrencia]] que la [[definición (matemática)| define]].

A los elementos de esta sucesión se les llama '''números de Fibonacci'''. Esta sucesión fue descrita en Europa por [[Leonardo de Pisa]], matemático italiano del siglo XIII también conocido como '''''Fibonacci'''''. Tiene numerosas aplicaciones en [[ciencias de la computación]], [[matemática]] y [[teoría de juegos]]. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en [[filotaxis|la disposición de las hojas en el tallo]], en las flores de [[alcachofa]]s y [[girasol]]es, en las inflorescencias del brécol [[Romanesco (brécol)|romanesco]],  en la configuración de las [[cono (botánica)|piñas de las coníferas]], en la reproducción de los conejos y en cómo el ADN codifica el crecimiento de formas orgánicas complejas. De igual manera, se encuentra en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos, como el [[nautilus]].

== Historia ==
Mucho antes de ser conocida en occidente, la sucesión de Fibonacci ya estaba descrita en la [[matemática en la India]], en conexión con la [[sánscrito|prosodia sánscrita]].<ref name = "HistoriaMathematica">{{Citation|first= Parmanand| last=Singh |title= The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India|journal=Historia Mathematica|volume=12| issue=3|pages=229–44|year=1985|doi = 10.1016/0315-0860(85)90021-7}}</ref><ref name=knuth-v1>{{Citation |title=The Art of Computer Programming | volume = 1 | first = Donald | last = Knuth | author-link =Donald Knuth |publisher=Addison Wesley |year=1968 | isbn = 81-7758-754-4 |url = http://books.google.com/?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100&dq=knuth+gopala+fibonacci#v=onepage& | quote = Antes de que Fibonacci escribiera su tratado, la secuencia Fn era estudiada en las escuelas de la India, interesados desde hacía mucho tiempo en patrones rítmicos... tanto [[Gopala]] (hacia el año 1135) como [[Hemachandra]] (hacia 1150) mencionan los números 1,2,3,5,8,13,21 explícitamente [ver P. Singh Historia Math 12 (1985) 229–44]" p. 100 (3d ed)...}}</ref>

[[Susantha Goonatilake]] hace notar que el desarrollo de la secuencia de Fibonacci «es atribuido en parte a [[Pingala]] (año 200), posteriormente asociado con [[Virahanka]] (hacia el año 700), Gopāla (hacia 1135), y [[Hemachandra]] (hacia 1150)».<ref name="GlobalScience">{{Citation|title =Toward a Global Science | first = Susantha | last = Goonatilake |publisher = Indiana University Press |year = 1998 |page = 126 |isbn = 978-0-253-33388-9 |url =http://books.google.com/?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126&dq=Virahanka+Fibonacci}}</ref> Parmanand Singh cita a Pingala (hacia 450) como precursor en el descubrimiento de la secuencia.<ref>{{Citation | last = Agrawala | first = VS | year = 1969 | title = Pāṇinikālīna Bhāratavarṣa (Hn.). Varanasi-I: TheChowkhamba Vidyabhawan | quote = SadgurushiShya writes that Pingala was a younger brother of Pāṇini [Agrawala 1969, lb].  There is an alternative opinion that he was a maternal uncle of Pāṇini [Vinayasagar 1965, Preface, 121. ... Agrawala  [1969,  463–76],  after a careful investigation, in which he considered the views of earlier scholars, has concluded that Pāṇini lived between 480 and 410 BC}}</ref>

La sucesión fue descrita y dada a conocer en occidente por [[Leonardo de Pisa|Fibonacci]] como la solución a un problema de la cría de conejos: «Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir».<ref name="Liberabaci">Laurence Sigler, Fibonacci's Liber Abaci, página 404.</ref>

{| class="wikitable"
|-
! Número de Mes !! Explicación de la genealogía !! Parejas de conejos
|-
| Comienzo del mes 1 || Nace una pareja de conejos (pareja A). || 1 pareja en total.
|-
| Fin del mes 1 || La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A. || 1+0=1 pareja en total.
|-
| Fin del mes 2 || La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A. || 1+1=2 parejas en total.
|-
| Fin del mes 3 || La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B. || 2+1=3 parejas en total.
|-
| Fin del mes 4 || Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C. || 3+2=5 parejas en total.
|-
| Fin del mes 5 || A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E. || 5+3=8 parejas en total.
|-
| Fin del mes 6 || A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H. || 8+5=13 parejas en total.
|-
|... ||... ||...
|-
|... ||... ||...
|-
|}
Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

[[Archivo:Liber abbaci magliab f124r.jpg|thumb|220px|Página del ''[[Liber Abaci]]'' de Fibonacci de la [[Biblioteca Nacional Central de Florencia]] mostrando (en un recuadro a la derecha) la sucesión de Fibonacci con las posiciones de la secuencia etiquetadas en números romanos y en latín; y el valor de los números en cifras arábigas.]]

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro ''[[Liber Abaci]]'', publicado en [[1202]]. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por [[Édouard Lucas]], responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.<ref name="Handbook">Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2</ref>

También [[Johannes Kepler|Kepler]] describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés [[Robert Simson]] descubrió en [[1753]] que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos <math>f_{n+1}/f_n</math> se acerca a la relación [[Número áureo|áurea]] ''fi'' (<math>\phi</math>) cuando <math>n</math> tiende a [[infinito]]; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta sucesión tuvo popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como [[Béla Bartók]], [[Olivier Messiaen]], la banda [[Tool]] y [[Delia Derbyshire]] la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

== Definición recurrente ==
Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones
{{Ecuación|<math>f_0=0\,</math>|1}}
{{Ecuación|<math>f_1=1\,</math>|2}}
{{Ecuación|<math>f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\,</math>|3}}

Esto produce los siguientes números:
* <math>f_2 = 1\,</math>
* <math>f_3 = 2\,</math>
* <math>f_4 = 3\,</math>
* <math>f_5 = 5\,</math>
* <math>f_6 = 8\,</math>
* <math>f_7 = 13\,</math>
* <math>f_8 = 21\,</math>
y así sucesivamente.

Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en [[Matemática discreta]].

Es importante definir <math>f_0 = 0\,</math> para que se pueda cumplir la importante propiedad de que:

<math>f_n</math> divide a <math>f_{m*n}</math>, para cualquier <math> m, n >= 1 </math>.

== Representaciones alternativas ==
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.

=== Función generadora ===
Una función generadora para una sucesión cualquiera <math>a_0,a_1,a_2,\dots</math> es la función <math>f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots</math>, es decir, una [[serie formal de potencias]] donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
{{Ecuación|<math>f\left(x\right)=\frac{x}{1-x-x^2}</math>|4}}

Cuando esta función se expande en potencias de <math>x\,</math>, los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:
:<math>\frac{x}{1-x-x^2}=0x^0+1x^1+1x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+\cdots</math>

=== Fórmula explícita ===
La definición de la sucesión de Fibonacci es [[Recursión|recurrente]]; es decir que se necesitan calcular todos los términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones {{Eqnref|1}}, {{Eqnref|2}} y {{Eqnref|3}} definen la relación de recurrencia <!--homogénea lineal de segundo orden para el que sepa del tema-->
:<math>f_{n+2}-f_{n+1}-f_n=0\,</math>
con las condiciones iniciales
:<math>f_0=0\,</math> y <math>f_1=1\,</math>

El [[polinomio característico]] de esta relación de recurrencia es <math>t^2-t-1=0</math>, y sus raíces son
:<math>t=\frac{1\pm\sqrt 5}{2}</math>
De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma
:<math>f_n=b\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n+d\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n</math>.<ref>Pareciera que surge de modo natural la raíz cuadrada de cinco, número irracional pura creación humana</ref>

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes <math>b</math> y <math>d</math> satisfacen la ecuación anterior cuando <math>n = 0</math> y <math>n = 1</math>, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones
:<math>\left.\begin{array}{rcl}b+d & = & 0 \\ b\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)+d\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)&=&1\end{array}\right\}</math>

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene
:<math>b=\frac1{\sqrt5},d=-\frac1{\sqrt5}</math>

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como
{{Ecuación|<math>f_n=\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n</math>|5}}

Para simplificar aún más es necesario considerar el [[número áureo]]
:<math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}2</math>

de manera que la ecuación {{Eqnref|5}} se reduce a
{{Ecuación|<math>f_n=\frac{\varphi^n-\left(1-\varphi\right)^{n}}{\sqrt5}</math>|6}}

Esta fórmula se le atribuye al matemático francés [[Édouard Lucas]], y es fácilmente demostrable por [[inducción matemática]]. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al [[número irracional]] <math>\varphi\,</math>. De hecho, la relación con este número es estrecha.

Observando los valores que adoptan los dos sumandos de la fórmula {{Eqnref|5}}, se comprueba que el segundo sumando siempre tiene un valor absoluto menor que <math>1</math>, y va cambiando de signo sucesivamente, compensando la parte no entera, irracional, que tiene el primer sumando, para que la suma de dos números irracionales dé un número natural.

Teniendo en cuenta entonces que ese segundo sumando de la fórmula {{Eqnref|5}} es siempre un número de valor absoluto menor que <math>0.5</math>, (el máximo valor absoluto es para <math>n=0</math>, aproximadamente <math>0.4472</math>), la fórmula puede escribirse, eliminando este segundo sumando, así:

{{Ecuación|<math>f_n= \operatorname{int} \left( \frac1{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n + \frac{1}{2} \right)</math>|7}} o lo que es lo mismo, empleando el número áureo <math>\varphi</math> :

{{Ecuación|<math>f_n= \operatorname{int} \left( \frac{\varphi^n}{\sqrt5}  + \frac{1}{2} \right)</math>|8}}

=== Forma matricial ===
Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el [[sistema lineal de ecuaciones]]
:<math>\left . \begin{array}{rcl}
          f_{n} &=& f_{n} \\
f_{n-1} + f_{n} &=& f_{n+1}
\end{array} \right \}</math>
Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como
:<math>\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_{n-1}\\f_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{bmatrix}</math>
Conociendo a <math>f_0=0</math> y <math>f_1=1</math>, al aplicar la fórmula anterior <math>n</math> veces se obtiene
{{Ecuación|<math>\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{bmatrix}</math>|9}}

Los autovalores de la matriz <math>\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}</math>, son precisamente <math>\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}</math> y <math>\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}</math>, (el número áureo <math>\varphi</math>; y el negativo de su inverso o conjugado <math>\psi = \frac{-1}{\varphi} = 1 - \varphi</math>); y sus autovectores <math>(\psi, -1)</math> y <math>(\varphi, -1)</math>.

Aplicando técnicas de [[Teorema espectral|descomposición espectral]] de la matriz, utilizando sus autovalores, y la base de sus autovectores, o diagonalizando la matriz, se puede substituir o simplificar la operación de potenciación de la matriz, y obtener, por otras dos métodos, la fórmula explícita {{Eqnref|5}} que proporciona el término general la sucesión.

También se verifica
{{Ecuación|<math>\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}f_{n-1}&f_n\\f_n&f_{n+1}\end{bmatrix}</math>|10}}
Esta igualdad puede probarse mediante inducción matemática.

== Propiedades de la sucesión ==
[[Archivo:FibonacciBlocks.svg|thumb|Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que se asemeja al [[rectángulo áureo]] (véase [[Número áureo]]).]]
Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud <math>n</math> que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada ''Fibonacci Quarterly''<ref>[http://www.fq.math.ca/ Fibonacci Quarterly]</ref> dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a la amplitud con la que los números de Fibonacci aparecen en matemática y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:
* La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:
{{ecuación|<math>\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}=\varphi</math>}}
:Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan [[asíntota|asintóticamente]] por exceso y por defecto al valor límite.
* Cualquier [[número natural]] se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, <math>17=13+3+1</math>, <math>65=55+8+2</math>.
* Tan solo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las [[congruencia]]s módulo <math>m</math>, para cualquier <math>m</math>.
* La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada ''forma de Binet'' (de [[Jacques Philippe Marie Binet|Jacques Binet]]). Si <math>\textstyle\alpha = \frac{1+\sqrt 5}{2}</math> y <math>\textstyle\beta = \frac{1-\sqrt 5}{2}</math>, entonces
:<math>f_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}</math> y <math>f_n\approx\frac{\alpha^n}{\sqrt 5}\,</math>
* Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir
:<math>f_n=\frac{f_{n-2}+f_{n+1}}2</math>
* Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces este número menos el número 2 posiciones más atrás.
:<math>f_{n+1}= f_{n} * 2 - f_{n-2}</math>
* La suma de los <math>n</math> primeros números es igual al número que ocupa la posición <math>n+2</math> menos uno. Es decir
:<math>f_0+f_1+f_2+\cdots+f_n=f_{n+2}-1</math>
* Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:
:<math>f_0-f_1+f_2-\cdots+(-1)^nf_n=(-1)^nf_{n-1}-1</math>
<br />
:<math>f_1+f_3+f_5+\cdots+f_{2n-1}=f_{2n}</math>
<br />
:<math>f_0+f_2+f_4+\cdots+f_{2n}=f_{2n+1}-1</math>
<br />
:<math>f_0^2+f_1^2+f_2^2+\cdots+f_n^2=f_nf_{n+1}</math>
<br />
:<math>f_1f_2+f_2f_3+f_3f_4+\cdots+f_{2n-1}f_{2n}=f_{2n}^2</math>
<br />
:<math>f_1f_2+f_2f_3+f_3f_4+\cdots+f_{2n}f_{2n+1}=f_{2n+1}^2-1</math>
<br />
:Si <math>k\geq1</math>, entonces <math>f_{n+k}=f_kf_{n+1}+f_{k-1}f_n\,</math> para cualquier <math>n\geq0</math>
<br />
:<math>f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=(-1)^n</math> (''Identidad de [[Giovanni Cassini|Cassini]]'')
<br />
:<math>f_{n+1}^2+f_n^2=f_{2n+1}</math>
<br />
:<math>f_{n+2}^2-f_{n+1}^2=f_nf_{n+3}</math> [[Archivo:Fibonacci phi.JPG|thumb|Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.]]
<br />
:<math>f_{n+2}^2-f_n^2=f_{2n+2}</math>
<br />
:<math>f_{n+2}^3+f_{n+1}^3-f_n^3=f_{3n+3}</math>
<br />
:<math>f_{n}=\varphi ^{n+1}-(f_{n+1})\varphi</math>   (''con φ = número áureo'') o, despejando f(n+1) y aplicando 1/φ = φ-1:
<br />
:<math>f_{n+1}=\varphi ^{n}+(1-\varphi)f_{n}</math>
<br />
* El [[máximo común divisor]] de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Más específicamente
:<math>\mathrm{mcd}\left(f_n,f_m\right)=f_{\mathrm{mcd}\left(n,m\right)}</math>
:Esto significa que <math>f_n\,</math> y <math>f_{n+1}\,</math> son [[Números primos entre sí|primos relativos]] y que <math>f_k\,</math> [[Divisibilidad|divide exactamente]] a <math>f_{nk}\,</math>
* Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del [[triángulo de Pascal]]. Es decir que para cualquier <math>n\geq0</math>,
[[Archivo:PascalTriangleFibanacci.svg|thumb|right|360px|Los números de Fibonacci son la suma de las diagonales (marcadas en rojo) del [[triángulo de Pascal]].]]
:<math>f_{n+1}=\sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac n 2\right\rfloor}\begin{pmatrix}n-j\\j\end{pmatrix}</math>
:y más aún
:<math>f_{3n}=\sum_{j=0}^n\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}2^jf_j</math>
* Si <math>f_p = a</math>, tal que <math>a</math> es un [[número primo]], entonces <math>p</math> también es un número primo, con una única excepción, <math>f_4=3</math>; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
* La suma infinita de los términos de la sucesión <math>\textstyle\frac{f_n}{10^n}</math> es exactamente <math>\textstyle\frac{10}{89}</math>.
* La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
* El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada <math>15\times10^{n-1}</math> números.
* Al surgir la sucesión de Fibonacci de la suma de las diagonales del triángulo de Pascal. Se puede caracterizar también a <math>\varphi</math> (el número áureo) en base a estas sumas. Representando el límite en el infinito de la razón entre las sumas de las diagonales pares del triángulo <math>(f_{2n})</math> y las sumas de las diagonales impares <math>(f_{2n-1})</math>; de esta forma:<br> <math>\varphi=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left({\dfrac{\binom{2n-1}{0}+\binom{2n-2}{1}+\binom{2n-3}{2}+...+\binom{n}{n-1}}{\binom{2n-2}{0}+\binom{2n-3}{1}+\binom{2n-4}{2}+...+\binom{n-1}{n-1}}}\right)}</math>  ó  <math>\varphi\,\approx{}\,{\dfrac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\,\displaystyle\binom{2n-1-k}{k}}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\,\displaystyle\binom{2n-2-k}{k}}}</math> <ref>[http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=102271.msg406681#msg40668 Rinconmatematico]</ref>

== Generalización ==
[[Archivo:Fibonacci continuous.png|thumb|Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.]]
El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de los [[Número entero|números enteros]] como <math>\ldots,-8,5,-3,2,-1,1,0,1,1,2,3,5,8,\ldots</math> de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se despeja <math>f_{n-2}\,</math> de la ecuación {{Eqnref|3}} de donde se obtiene
:<math>f_{n-2}=f_n-f_{n-1}\,</math>
De esta manera, <math>f_{-n}=f_n\,</math> si <math>n</math> es impar y <math>f_{-n}=-f_n\,</math> si <math>n</math> es par <ref>Triana, Juan. [http://www.viam.science.tsu.ge/others/ticmi/blt/vol23_1/3_triana.pdf Negafibonacci numbers via matrices. Bulletin of TICMI], 2019, págs.&nbsp;19-24.</ref>.

La sucesión se puede expandir al campo de los [[Número real|números reales]] tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación {{Eqnref|6}}) cuando <math>n</math> es cualquier número real. La función resultante
:<math>f(x)=\frac{\varphi^x-\cos(\pi x)\varphi^{-x}}{\sqrt 5}</math>
tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:
* <math>f(0)=0~</math>
* <math>f(1)=1~</math>
* <math>f(x)=f(x-1)+f(x-2)~</math> para cualquier número real <math>x</math>

Una '''sucesión de Fibonacci generalizada''' es una sucesión <math>g_0,g_1,g_2,\ldots</math> donde
{{Ecuación|<math>g_n=g_{n-1}+g_{n-2}\,</math> para <math>n=2,3,4,5,\ldots</math>|11}}
Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.

Una sucesión de fibonacci generalizada muy importante, es la formada por las potencias del número áureo.
:<math> \varphi^n=\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}</math>.

La importancia de esta sucesión reside en el hecho de que se puede expandir directamente al conjunto de los números reales.
:<math> \varphi^x=\varphi^{x-1}+\varphi^{x-2}</math>.
...y al de los complejos.
:<math> \varphi^z=\varphi^{z-1}+\varphi^{z-2}</math>.

Una característica notable es que, si <math>g_0,g_1,g_2,\ldots</math> es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces
:<math>g_n=f_{n-1}g_0+f_ng_1~</math>

Por ejemplo, la ecuación {{Eqnref|11}} puede generalizarse a
:<math>\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}g_0\\g_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}g_{n}\\g_{n+1}\end{bmatrix}</math>
Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.

=== Sucesión de Lucas ===
[[Archivo:Lucas continuous.png|thumb|Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.]]
Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la [[sucesión de Lucas]], descrita por las ecuaciones
* <math>l_0=2~</math>
* <math>l_1=1~</math>
* <math>l_n=l_{n-1}+l_{n-2}~</math> para <math>n=2,3,4,5,\ldots</math>

La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:
* La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{l_{n+1}}{l_n}=\varphi</math>
* La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es
:<math>l_n=\varphi^n+(-\varphi)^{-n}</math>
* La suma de los primeros <math>n</math> números de Lucas es el número que se encuentra en la posición <math>n+2</math> menos uno. Es decir
:<math>l_0+l_1+l_2+\cdots+l_n=l_{n+2}-1</math>
* Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad
:<math>l_n=f_{n-1}+f_{n+1}~</math>
* Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad
:<math>f_n=\frac{l_{n-1}+l_{n+1}}{5}</math>

== Algoritmos de cálculo ==
[[Archivo:FibbonacciRecurisive.png|thumb|350px|Cálculo de <math>f_7</math> usando el algoritmo {{Algref|1}}. El árbol descendente de sumas, se detiene en las distintas ramas cuando se alcanza <math>\mathrm{fib}_1</math>. El resultado es precisamente el número de veces que aparece <math>\mathrm{fib}_1</math> en el árbol (13 veces en este caso, valor de <math>f_7</math>).]] 

Para calcular el <math>n</math>-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios [[algoritmo]]s (métodos<!--Para quienes no les asusta la palabra XD-->). Su definición misma puede emplearse como uno de estos algoritmos, aquí expresado en [[pseudocódigo]]:

{{Algoritmo|Versión recursiva descendente|
'''función''' <math>{\rm fib}(n)\,</math>
:'''si''' <math>n<2\,</math> '''entonces'''
::'''devuelve''' <math>n\,</math>
:'''en otro caso'''
::'''devuelve''' <math>{\rm fib}(n-1) + {\rm fib}(n-2)\,</math>
|1|<math>O(\varphi^n)\,</math>}}

Usando técnicas de [[análisis de algoritmos]] es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo {{Algref|1}} requiere efectuar <math>f_{n+1}-1</math> sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesión <math>f_n</math> [[Cota ajustada asintótica|crece tan rápido]] como <math>\varphi^n</math>, entonces el algoritmo está en el orden de <math>\varphi^n</math>. Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular <math>f_{50}</math> este algoritmo requiere efectuar 20.365.011.073 sumas.

Para evitar hacer tantas operaciones, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación {{Eqnref|6}} del matemático [[Édouard Lucas]]. Sin embargo, dado que <math>\varphi</math> es un [[número irracional]], la única manera de utilizar esta fórmula es empleando una aproximación de <math>\varphi</math>, obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero no exacto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado <math>f_{50}=1.258626903\times10^{10}</math> aún cuando el resultado correcto es <math>f_{50}=12586269025</math>. Este error se hace cada vez más grande conforme crece <math>n</math>. De igual forma se puede crear una función utilizando la fórmula, muy eficiente, <math>O(\log_2(n))</math>, aunque hay que tener en cuenta algunas consideraciones, cada lenguaje de programación tiene una forma específica de implementación de las funciones matemáticas, y es probable que se necesite redondear el número obtenido de la ecuación, y en ciertos casos, si el número es muy grande, puede ser impreciso.

{{Algoritmo|Versión con fórmula explícita {{Eqnref|6}}|
'''función''' <math>{\rm fib}(n)\,</math>
:'''si''' <math>n<2\,</math> '''entonces'''
::'''devuelve''' <math>n\,</math>
:'''en otro caso'''
::<math>\varphi\gets {\rm(({1+\sqrt5})\div{2})}</math>
::<math>j\gets {\rm((\varphi^n-\left(1-\varphi\right)^{n}})\div({\sqrt5}))</math>
:'''devuelve''' <math>j\,</math>
|2|<math>O(\log_2(n))\,</math>}}

Otro método más práctico a la recursión, que evita calcular las mismas sumas más de una vez, es la iteración. Considerando un par <math>(a,b)\,</math> de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es <math>(b,b+a)\,</math>, de esta manera se divisa un algoritmo donde solo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que se usaría normalmente para hacer el cálculo con lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:

{| width="70%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" style="background-color:transparent;table-layout:fixed;"
|- valign="top"
|<div style="margin-right:1px; width:100%;">
{{Algoritmo|Versión iterativa<br>|
'''función''' <math>{\rm fib}(n)\,</math>
:<math>a\gets 0</math>
:<math>b\gets 1</math>
:<math>c</math>
:'''para''' <math>k\,</math> desde <math>0\,</math> hasta <math>n\,</math> '''hacer'''
::<math>c\gets b+a</math>
::<math>a\gets b</math>
::<math>b\gets c</math>
:'''devuelve''' <math>a\,</math>
|3|<math>O(n)\,</math>}}
</div>
|<div style="margin-right:20px; width:120%;">
{{Algoritmo|Versión iterativa<br>2 variables|
'''función''' <math>{\rm fib}(n)\,</math>
:<math>a\gets 0</math>
:<math>b\gets 1</math>
:'''para''' <math>k\,</math> desde <math>0\,</math> hasta <math>n\,</math> '''hacer'''
::<math>b\gets b+a</math>
::<math>a\gets b-a</math>
:'''devuelve''' <math>a\,</math>
|4|<math>O(n)\,</math>}}
</div>
|<div style="margin-right:1px; width:100%;">
{{Algoritmo|Versión iterativa vector<br>|
'''función''' <math>{\rm fib}(n)\,</math>
:'''si''' <math>n<2\,</math> '''entonces'''
::'''devuelve''' <math>n\,</math>
:'''en otro caso'''
::<math>\mathrm{vector}[0...n+1]</math>
::<math>\mathrm{vector}[0]\gets 0</math>
::<math>\mathrm{vector}[1]\gets 1</math>
::'''para''' <math>k\,</math> desde <math>2\,</math> hasta <math>n+1\,</math> '''hacer'''
:::<math>\mathrm{vector}[k]\gets \mathrm{vector}[k-1]+\mathrm{vector}[k-2]</math>
::'''devuelve''' <math>\mathrm{vector}[n]\,</math>
|5|<math>O(n)\,</math>}}
</div>
|}

Estas versiones requieren efectuar solo <math>n</math> sumas para calcular <math>f_n</math>, lo cual significa que los métodos iterativos son considerablemente más rápidos que el algoritmo {{Algref|1}}. Por ejemplo, en el algoritmo {{Algref|3}} solo se requiere efectuar 50 sumas para calcular <math>f_{50}</math>.

[[Archivo:FibDC Example.png|thumb|Calculando <math>f_{100}</math> usando el algoritmo {{Algref|3}}.]]
Un algoritmo todavía más rápido se deduce partiendo de la ecuación {{Eqnref|10}}. Utilizando leyes de exponentes es posible calcular <math>x^n</math> como

:<math>x^n=\begin{cases} x & \mbox{si }n=1 \\ \left(x^{\frac n 2}\right)^2 & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ x\times x^{n-1} & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}</math>

De esta manera se divisa el algoritmo de tipo [[Algoritmo divide y vencerás|Divide y Vencerás]] donde solo se requeriría hacer, aproximadamente, <math>\log_2(n)</math> [[Producto de matrices|multiplicaciones matriciales]]. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma
:<math>\begin{bmatrix} a & b \\ b & a+b \end{bmatrix}</math>
De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores <math>a</math> y <math>b</math>, y su cuadrado se puede calcular como
:<math>\begin{bmatrix} a & b \\ b & a+b \end{bmatrix}^2 = 
\begin{bmatrix}a^2+b^2 & b(2a+b)\\
b(2a+b) & (a+b)^2+b^2\end{bmatrix}</math>
Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:

{{Algoritmo|Versión Divide y Vencerás|
'''función''' <math>{\rm fib}(n)\,</math>
:'''si''' <math>n\leq0</math> '''entonces'''
::'''devuelve''' <math>0\,</math>
:<math>i\gets n-1</math>
:<math>{\rm auxOne}\gets 0</math>
:<math>{\rm auxTwo}\gets 1</math>
:<math>(a,b) \gets {\rm(auxTwo,auxOne)}</math>
:<math>(c,d) \gets {\rm(auxOne,auxTwo)}</math>
:'''mientras''' <math>i > 0\,</math> '''hacer'''
::'''si''' <math>i\,</math> es impar '''entonces'''
:::<math>{\rm auxOne}\gets (db + ca)</math>
:::<math>{\rm auxTwo}\gets (d(b + a) + cb))</math>
:::<math>(a,b) \gets {\rm(auxOne, auxTwo)}</math>
::<math>{\rm auxOne}\gets (c^2 + d^2)</math>
::<math>{\rm auxTwo}\gets (d(2c + d))</math>
::<math>(c,d) \gets {\rm(auxOne, auxTwo)}</math>
::<math>i\gets i\div 2</math>
:'''devuelve''' <math>a+b\,</math>
|6|<math>O(\log_2(n))\,</math>}}

A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular <math>f_{100}</math>, en vez de hacer las 573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo {{Algref|1}} o las 100 sumas con el algoritmo {{Algref|3}}, el cálculo se reduce a tan solo 9 multiplicaciones matriciales.

== La sucesión de Fibonacci en la naturaleza ==
[[Archivo:FibonacciChamomile.PNG|thumb|Botón de [[Camomila amarilla]] mostrando la ordenación en espirales de módulos 21 (color azul) y 13 (color cian). Este tipo de arrollamientos utilizando números consecutivos de Fibonacci aparecen en una gran variedad de plantas.]]
[[Archivo:Nautilus pompilius - Fernbank Museum of Natural History - DSC00294.JPG|thumb|Espiral de Fibonacci en la sección de la concha de un [[nautilus]].]]

La secuencia de Fibonacci se encuentra en múltiples configuraciones biológicas,<ref name="S. Douady and Y. Couder 1996 255–274">{{Citation |first1=S |last1=Douady |first2=Y |last2=Couder |title=Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process |journal=Journal of Theoretical Biology |year=1996 |issue=178 |pages=255–74 |url=http://www.math.ntnu.no/~jarlet/Douady96.pdf |doi=10.1006/jtbi.1996.0026 |volume=178 |format=PDF |archiveurl=https://web.archive.org/web/20060526054108/http://www.math.ntnu.no/~jarlet/Douady96.pdf |archivedate=26 de mayo de 2006 |fechaacceso=27 de agosto de 2015 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20060526054108/http://www.math.ntnu.no/~jarlet/Douady96.pdf |fechaarchivo=26 de mayo de 2006 }}</ref> donde aparecen números consecutivos de la sucesión, como en la distribución de las ramas de los árboles, [[Filotaxis|la distribución de las hojas en un tallo]], los frutos de la [[piña tropical]],<ref name="Jones 2006 544">{{Citation | first1 =Judy |last1 =Jones | first2 =William | last2 = Wilson |title=An Incomplete Education |publisher = Ballantine Books |year=2006 |isbn= 978-0-7394-7582-9 |page= 544 |chapter = Science}}</ref> las flores de la [[alcachofa]], en las [[cono (botánica)|piñas de las coníferas]],<ref name = "A. Brousseau 1969 525–532">{{Citation| first = A | last = Brousseau |title= Fibonacci Statistics in Conifers | journal = [[Fibonacci Quarterly]] |year=1969 |issue=7 |pages= 525–32}}</ref> o en el "árbol genealógico" de las abejas melíferas.<ref>{{cite web|url = http://www.cs4fn.org/maths/bee-davinci.php |work = Maths | publisher = Computer Science For Fun: CS4FN |title = Marks for the da Vinci Code: B–}}</ref> Sin embargo, también se han hecho muchas invocaciones infundadas a la aparición de los números de Fibonacci aprovechando su relación con el [[número áureo]] en la literatura popular.<ref>{{cite web | url = http://www.lhup.edu/~dsimanek/pseudo/fibonacc.htm | title = Fibonacci Flim-Flam | first = D | last = Simanek | publisher = LHUP | archiveurl = https://www.webcitation.org/5nDtkyeKW?url=http://www.lhup.edu/~dsimanek/pseudo/fibonacc.htm | archivedate = 1 de febrero de 2010 }}</ref>

[[Przemysław Prusinkiewicz]] avanzó la idea de considerar la sucesión de Fibonacci en la naturaleza como un [[grupo libre]].<ref>{{Citation|first1 = Przemyslaw |last1 = Prusinkiewicz | first2 = James | last2 = Hanan| title = Lindenmayer Systems, Fractals, and Plants (Lecture Notes in Biomathematics) |publisher= [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |year=1989 |isbn=0-387-97092-4}}</ref>
[[Archivo:SunflowerModel.svg|thumb|left|Ilustración del modelo de Vogel para ''n''=1&nbsp;... 500]]

Un modelo del patrón de distribución de las semillas del [[girasol]] fue propuesto por H. Vogel en 1979.<ref>{{Citation | last =Vogel | first =H | title =A better way to construct the sunflower head | journal = Mathematical Biosciences | issue =44 | pages = 179–89 | year = 1979 | doi = 10.1016/0025-5564(79)90080-4 | volume = 44}}</ref>  Presenta la forma

:<math>\theta = \frac{2\pi}{\phi^2} n,\  r = c \sqrt{n}</math>

donde ''n'' es el índice de la flor y ''c'' es un factor de escala; entonces las semillas se alinean según [[espiral de Fermat|espirales de Fermat]]. El ángulo de divergencia, de aproximadamente 137.51°, está relacionado con el [[número áureo]]. Debido a que el coeficiente es un número irracional, ninguna semilla tiene ninguna vecina al mismo ángulo respecto al centro, por lo que se compactan eficientemente. Debido a que las aproximaciones racionales al número aúreo son de la forma ''F''(''j''):''F''(''j''&nbsp;+&nbsp;1), los vecinos más próximos al número de semillas ''n'' están todos en ''n''&nbsp;±&nbsp;''F''(''j'') para cada índice ''j'', que depende de ''r'', la distancia al centro. Suele afirmarse que los girasoles y flores similares tienen 55 espirales en una dirección y 89 en la otra (o alguna otra pareja de números adyacentes de la sucesión de Fibonacci), pero esto solo es cierto en ciertos rangos de radio, generalmente raros (y por ello más notables).<ref>{{Citation | last1 =Prusinkiewicz | first1 = Przemyslaw | author1-link = Przemyslaw Prusinkiewicz | author2-link = Aristid Lindenmayer| last2 = Lindenmayer | first2 = Aristid | title = The Algorithmic Beauty of Plants | publisher =Springer-Verlag | year= 1990 | pages =101–7 | url = http://algorithmicbotany.org/papers/#webdocs | isbn = 978-0-387-97297-8}}</ref>

=== El árbol genealógico de las abejas ===
Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Recientemente, un análisis histórico-matemático acerca del contexto de Leonardo de Pisa y la proximidad de la ciudad de [[Bejaia]], una importante exportadora de cera en los tiempos de Leonardo (de la cual proviene el nombre en francés de esta ciudad, "Bougie", que significa "vela"), ha sugerido que fueron los criadores de abejas de Bejaia y el conocimiento de la ascendencia de las abejas lo que inspiró los números de Fibonacci más que el modelo de reproducción de conejos.<ref>(en inglés){{cita publicación |autor=T.C.Scott| coautores=P. Marketos| url =http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf |título=On the Origin of the Fibonacci Sequence | publicación=[[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews|año=2014}}</ref>

== Dígitos en la sucesión de Fibonacci ==
[[Archivo:Fibonaccis Traum.jpg|thumb|''Fibonaccis Traum'', [[Martina Schettina]] 2008, 40 x 40 cm.]]
Una de las curiosidades de dicha serie son los dígitos de sus elementos:<br />

* Empezando en 1 dígito y "terminando" en infinitos, cada valor de dígito es compartido por 4, 5 o 6 números de la serie. Siendo 6 solo en el caso de 1 dígito.

* En los elementos de posición n, n<sup>10</sup>, n<sup>100</sup>,..., el número de dígitos aumenta en el mismo orden. Dando múltiples distintos para cada n.

== Divisibilidad ==

* Sean ''n'' y m enteros positivos. Si el número ''n'' es divisible por ''m'' entonces el término n-ésimo de Fibonacci es divisible por el término m-ésimo de la misma sucesión. En efecto 4 divide a 12, por tanto el término de orden cuatro, el 3 divide a 144, término de orden 12 en la citada sucesión.<ref>Vorobiov: Números de Fibonacci, Editorial Mir, Moscú. Esta sección exige que la sucesión empiece con 1 y con 0 (1974)</ref>

* Cualquiera que sea el entero ''m'', entre los <math>m^2 - 1</math> primeros números de Fibonacci habrá al menos uno divisible ''por m''. A modo de ejemplo para m = 4, entre los primeros quince números están 8 y 144, números de Fibonacci, divisibles por 4.<ref>Vorobiov: Ibídem</ref>

* Si ''k'' es un número compuesto diferente de 4, entonces el número k-ésimo de Fibonacci es compuesto.<ref>Vorobiov: Op. cit</ref> Para el caso 10, compuesto distinto de 4, el décimo número de Fibonacci 55, es compuesto.

* Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre sí.<ref>A simple vista se puede comprobar esta proposición, revisando la lista correspondiente.</ref>

== La sucesión de Fibonacci en la cultura popular ==

* Es mencionada en obra [[Rama II (novela)]], de Arthur C. Clarke, cuando el personaje Michael O'toole la describe como una referencia para memorizar una larga clave secreta, principalmente por su facilidad de ser extrapolada.

== Véase también ==
* [[Número áureo]]
* [[Teselación de Penrose]]
* [[Sucesión matemática]]
* [[Sistema-L]]
* [[Espiral logarítmica]]
* [[Montículo de Fibonacci]]
* [[Identidades de Cassini y Catalan]]

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{cita libro|autor=Kolman, Bernard; Hill, David R.|título=Álgebra Lineal|año=2006|editorial=México: PEARSON EDUCACIÓN|id=ISBN 970-26-0696-9}}
* {{cita libro|autor=Johnsonbaugh, Richard|título=Matemáticas Discretas|año=2005|editorial=México: PEARSON EDUCACIÓN|id=ISBN 970-26-0637-3}}
* {{cita libro|autor=Brassard, G; Bratley, P.|título=Fundamentos de Algoritmia|año=1997|editorial=Madrid: PRETINCE HALL|id=ISBN 84-89660-00-X}}
* {{cita libro|autor=Kenneth, H. Rosen|título=Discrete mathematics and its applications|año=2003|editorial=McGraw Hill|id=ISBN 0-07-123374-1}}
* {{cita libro|autor=Kenneth H. Rosen; John G. Michaels|título=Handbook of discrete and combinatorial mathematics|año=1999|editorial=CRC|id=ISBN 0-8493-0149-1}}
* {{cita libro|autor=N. N. Vorobiov|título=Números de Fibonacci|año=1974|editorial=Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemática Superior y candidato a doctor en ciencias físico-matemática}}
* {{cita libro|autor=A. I. Markushevich|título=Sucesiones recurrentes|año=1974; 1981|editorial=Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega}}
* {{cita libro|autor=[[Luca Pacioli]]|título=La Divina Proporción|año=1946|editorial=Editorial Losada, Buenos Aires}}
* Hrant Arakelian (2014). ''Mathematics and History of the Golden Section''. Logos, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)

== Enlaces externos ==
{{commonscat|Fibonacci numbers|números de Fibonacci}}
{{wikilibros
| nombre = Implementación de algoritmos/Matemáticas/Números de Fibonacci
| etiqueta = implementaciones para generar números de Fibonacci
| objeto = un libro o manual sobre
| preposición = 
| idioma = 
}}
* [http://books.google.co.ve/books?id=PilhoGJeKBUC&printsec=frontcover&hl=es#v=onepage&q&f=false Fibonacci's Liber Abaci] vista previa en Google Books (en inglés)
* {{MathWorld|FibonacciNumber|Sucesión de Fibonacci}}
* [http://www.youtube.com/watch?v=P0tLbl5LrJ8 The Fibonacci Sequence] En inglés.
* [http://numerentur.org/ordenacion-de-vectores-smooth-sort/ Números de Leonardo en algoritmos de ordenación -Smooth sort- (en español)]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Números de Fibonacci|*]]
[[Categoría:Epónimos relacionados con las matemáticas]]
[[Categoría:Series matemáticas]]
[[Categoría:Número áureo]]