Ver el código de «Seno (trigonometría)»

{{otros usos|Seno}}
{{Ficha de función
|nombre       = Seno
|gráfica      = Sine.svg
|gráfica_tamaño = 350px
|función      = sen x
|tipo         = 
|descubridor  = 
|dominio      = <math> \mathbb{R} </math>
|codominio    = 
|imagen       = [-1,1]
|propiedades  = 
|derivada     = [[Coseno|cos x]]
|primitiva    = -cos x + c
|inversa      = [[Arcoseno|arcsen x]]
|límite       = 
|relacionadas = 
|notas        = 
}}

En [[matemáticas]], el '''seno''' es una de las seis funciones trigonométricas, llamadas también ''funciones circulares '' <ref> A. I. Markushévich: ''Curvas maravillosas/ Números complejos y representaciones conformee/ Funciones maravillosas'' Editorial Mir, Moscú, 1988, pp 99-100</ref>, es una función real cuyo dominio es <math>\mathbb{R}</math> y su codominio el intervalo cerrado [-1;1]; se denota <math> f(x) = \sen x</math> para todo <math>x \in \mathbb{R}</math>. Su nombre se abrevia '''sen''' o '''sin'''.<ref>{{Cita libro |título=Diccionario esencial de las ciencias |autor= Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales|isbn=84-239-7921-0 |cita= Sen->Abreviatura de seno. Seno->...Abreviado sen. Sin->()Elemento compositivo que significa "con","a la vez". }}</ref><ref>{{Cita libro |título=Diccionario de Matemáticas |autor= A. Bouvier y M. George |editorial=AKAL|isbn=84-7339-706-1 |cita= Sen->Abreviación de seno. Seno->...Representado por Sen. }}</ref><ref>{{Cita libro |título=Enciclopedia didáctica de matemáticas |autor= Equipo editorial |editorial=OCEANO|isbn=84-494-0696-X |cita= Seno-> ... sen â ... }}</ref>

== Etimología ==
El astrónomo y matemático hindú [[Aryabhata|Aria Bhatta]] (476–550&nbsp;d.&nbsp;C.]]) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ''ardhá-jya'',<ref>En el sitio [https://web.archive.org/web/20081204003039/http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/etimologia.htm Centros5.Pntic.Mec.es] se refieren erróneamente a ''yia'' como '[[jiva (sánscrito)|yivá]]'', que no significa ‘cuerda’ sino ‘ser vivo’.</ref> siendo ''ardhá:'' ‘mitad, medio’, y ''jya:'' ‘cuerda’). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al [[idioma árabe|árabe]], se referían a este término sánscrito como ''jiba'' . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado ''jb''. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que ''jb'' era la abreviatura de ''jiab'' (que quiere decir ‘bahía’).

A finales del siglo XII, el traductor italiano [[Gerardo de Cremona]] (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazando el insensato ''jiab'' por su contraparte latina ''sinus'' (‘hueco, cavidad, bahía’).
Luego, ese ''sinus'' se convirtió en el español «seno».<ref>{{Cita libro
 |autor=Howard Eves
 |título=An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237)
 |editorial=Saunders College Publishing House, New York
 |año=1990
}}</ref>

Según otra explicación,{{cita requerida}} la [[cuerda (trigonometría)|cuerda]] de un círculo, se denomina en latín ''inscripta corda'' o simplemente ''inscripta''. La mitad de dicha cuerda se llama ''semis inscríptae''. Su abreviatura era ''s.&nbsp;ins.'', que terminó simplificada como ''sins''. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó ''sinus''.

== Definición ==

[[Archivo:Trigono b00.svg|right|thumb|280px|El seno de α es la [[Razón (matemáticas)|razón]] <math>\tfrac{a}{c} =\tfrac{BC}{AB}</math>]]
En [[trigonometría]], el '''seno''' de un [[ángulo]] <math>\alpha\,</math> de un [[triángulo rectángulo]] se define como la razón entre el [[cateto]] opuesto a dicho [[ángulo]] y la [[hipotenusa]]:

:<math>\sen \alpha=\frac{a}{c} =\frac{BC}{AB}</math>

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una [[Función matemática|función]] dependiente del ángulo <math>\alpha.</math>

Si <math>B</math> pertenece a la [[circunferencia goniométrica]], es decir, la [[circunferencia unitaria|circunferencia de radio uno]] con <math>O=A</math> se tiene:

:<math> \sen \alpha=a=BC \,</math>

Ya que <math>c=AB=1</math>.

Esta construcción permite representar el valor del seno para ángulos no agudos y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector <math>\vec{AB}</math> mediante su descomposición en los vectores ortogonales <math>\vec{AC}</math> y <math>\vec{CB}</math>.

== Relaciones trigonométricas ==

El seno puede relacionarse con otras [[Función trigonométrica|funciones trigonométricas]] mediante el uso de [[identidades trigonométricas]].

El seno es una función [[función impar]], es decir:
:<math> \sen \; (-x) = -\sen (x)</math>

El seno es una [[función periódica]] de periodo <math>2\pi</math>,
{{Demostración|título=<math> \sen \; \alpha=\;\;\;\sen \; ( \alpha + 2 k \pi ) ,\;\; k \in \mathbb{Z}</math>|1=Por inducción ya que aplicando un número par de veces <math> \sen \; \alpha=-\sen (\alpha + \pi)</math> se llega a todos los valores de k.
}}

=== Relación entre el seno y el coseno ===

La curva del [[coseno]] es la curva del seno desplazada <math>\frac{\pi}{2}</math> a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

: <math> \sen \alpha=\cos\left(\alpha- \frac{\pi}{2}\right) </math>

=== En función del coseno ===
Como sen² α + cos² α = 1, despejando sen α se obtiene:

<math> \sen \alpha =  \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} </math>

=== En función de la tangente ===
<math> \sen \alpha = \frac{\sen\alpha}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos\alpha}}{\frac{1}{\cos\alpha}} = \frac {\frac {\sen \alpha}{\cos \alpha}}{\frac {1}{\cos \alpha}} = \frac {\tan \alpha}{\sec \alpha} </math>

Como sec² α = 1 + tan² α, despejando y reemplazando sec α se obtiene:

<math> \sen \alpha = \frac {\tan \alpha}{\sec \alpha} = \frac {\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2\alpha}} </math>

=== En función de la cotangente ===
Sabiendo que sen α = 1/csc α, y que csc² α = 1 + cot² α, entonces:

<math> \sen \alpha = \frac{1}{\csc \alpha} = \frac {1}{\sqrt{1 + \cot^2 \alpha}} </math>

=== En función de la secante ===
<math> \sen \alpha = \frac {\tan \alpha}{\sec \alpha} </math>

Como sec² α = 1 + tan² α, despejando y reemplazando tan α se obtiene:

<math> \sen \alpha = \frac {\tan \alpha}{\sec \alpha} = \frac {\sqrt{\sec^2 \alpha - 1}}{\sec \alpha} </math>

=== En función de la cosecante ===
El seno y la cosecante son inversos multiplicativos:

<math> \sen \alpha = \frac{1}{\csc \alpha}</math> <ref>I. Bronshtein & K. Semendiaev: Manual de matemáticas, Editorial Mir, Moscú/ 1973, pág. 210 </ref>

=== Seno de la suma de dos ángulos ===

{{Demostración|título=<math>\sen\left(\alpha +\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sen\beta</math>

<math>\sen\left(\alpha -\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta -\cos\alpha\sen\beta</math>|1=
La '''demostración''' está en la sección de [[Identidades trigonométricas#Teoremas de la suma y diferencia de ángulos|identidades trigonométricas]].
}}

=== Seno del ángulo doble ===

{{Demostración|título=<math>\sen\left(2\alpha\right)=2\sen\alpha\cos\alpha</math>|1=
Como:

:<math>\sen\left(\alpha+\beta\right)=\sen\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sen\beta</math>

Bastará con el cambio <math>\beta=\alpha\,</math>
}}

=== Seno del ángulo mitad ===
{{Demostración|título=<math>\sen \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\begin{cases} \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [2k\pi,(2k+1)\pi) \\ -\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [(2k+1)\pi,2(k+1)\pi) \end{cases}\;, \text{  para }k\in \mathbb{Z}</math>
|1=Usando las fórmulas:

:<math>\sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,</math> y

:<math>\cos\left(2\theta\right)=\cos^2\theta-\sen^2\theta</math>

resulta:

:<math>\cos\left(2\theta\right)=1-2\sen^2\theta</math>
[[File:ValAbsSin07.svg|400px|thumb|Representación de <math>y\;=\;\sqrt{\frac{1-\cos(2x)}{2}}.</math>]]
y aislando <math>\sen \theta</math>:

:<math>\vert \sen \theta \vert=\sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}}</math>

El cambio <math>\theta=\frac{\alpha}{2}</math> corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:

:<math>0<\sen \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [0,\,\pi)+2k\pi, </math>

:<math>0>\sen \frac{\alpha}{2}\;\;\;\;\; \text{si}\;\;\; \frac{\alpha}{2}\in [\pi,\,2\pi)+2k\pi</math>

donde <math>k\in\mathbb{Z}</math>.
}}

=== Suma de senos como producto ===

{{Demostración|título=<math>\sen a+ \sen b = 2 \sen\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)</math>
<math>\sen a- \sen b = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \sen\left( \frac{a - b}{2} \right)</math>
|1=Usando '''seno de la suma de dos ángulos''' y con el cambio <math>a=\alpha+\beta, b=\alpha-\beta</math> se tine:

:<math>\sen a =\sen\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)+\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sen\left(\frac{a-b}{2}\right)</math>

:<math>\sen b =\sen\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) -\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sen\left(\frac{a-b}{2}\right)</math>

Luego sumando o restando según convenga salen ambas ecuaciones.
}}

=== Producto de senos como suma ===

{{Demostración|título=
<math>\sen(\alpha)\sen(\beta)=\frac12 \left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right)</math><math>\sen(\alpha)\sen(\beta)=\sen^2 \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-\sen^2 \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)= \cos^2 \left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right)-\cos^2 \left( \frac{\alpha-\beta}{2}\right)</math>
|1=Usando las ecuaciones de [[Coseno#Coseno de la suma de dos ángulos|coseno de la suma de dos ángulos]] y restando resulta la primera ecuación, y si a éstas ecuaciones se le aplica la identidad de [[Coseno#Coseno del ángulo doble|coseno del ángulo doble]] resulta la segunda ecuación.
}}

===Potencias de senos===
* <math> \sen^2 x = \frac{1}{2}( 1 - \cos 2x  ) </math>

* <math> \sen^3 x = \frac{1}{4}( 3\sen x - \sen 3 x )</math>

== Seno en análisis matemático ==
=== Definición ===
La función '''seno''' puede definirse mediante un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

:<math> dx/dt=y </math>

:<math> dy/dt=-x </math>

si la condición inicial es (0,1) entonces su solución es <math>x=\sen(t)</math> e <math>y=\cos(t)</math>.

=== Derivada del seno ===
: <math>\sen'x=\cos x\,</math>

*Observación: <math>\sen'x=\sen\left ( x+\frac{\pi}{2} \right )</math>.

=== Como serie de Taylor ===

El seno como [[Serie de Taylor]] en torno a ''a'' = 0 es:

:<math>
\begin{align}
\sen x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\end{align}
</math>

=== Propiedades ===

* Es una  función [[función continua|continua]] en todo su [[dominio de definición]]. 
* Es una [[función trascendente]] pues no se puede expresar mediante una función algebraica, sea entera, racional o irracional.
* El seno es una función analítica, esto es, que tiene derivada continua de cualquier orden.
* Tiene una infinidad contable de ceros, donde corta al eje X.
* Tiene una infinidad contable de valor máximo = 1; igual cantidad contable de valor mínimo = -1.
* Tienen infinidad contable  de puntos de inflexión.
* Su gráfica es cóncava hacia abajo en [2k; 2(k+1)π]
* Su gráfica es cóncava hacia arriba en [2(k+1)π; 2(k+2)π] <ref> Bronshtein. Op. ci pág, pág. 275 </ref>

== Seno en análisis  complejo ==

En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:

{{Demostración|título=<math> {\sen}\ (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} </math>|1=

Dada la fórmula de Euler:

:<math>e^{iz}={\cos}\ (z)+i{\sen}\ (z)</math>

donde <math>e</math> es la [[número e|base del logaritmo natural]], e <math>i</math> es la [[unidad imaginaria|unidad]] de los números imaginarios.

Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado a <math>e^{-iz}</math> se tiene también que:

:<math>e^{-iz}={\cos}\ (-z)+i{\sen}\ (-z)=</math> <math>{\cos}\ (z)-i{\sen}\ (z)</math>

Restando la segunda ecuación a la primera se tiene:

:<math>e^{iz}-e^{-iz}=2i{\sen}\ (z)</math> <ref>A. Markushevich: ''Teoría de las funciones analíticas''' tomo I editorial Mir  Moscú (1970)</ref>

de donde despejando el seno se obtiene lo que se quiere.
}}

== El seno en programación ==
Gran parte de los lenguajes de programación tienen la función seno en sus librerías.

La mayoria de los modelos de [[calculadora]]s estan configurados y aceptan el valor de un [[angulo]] cualquiera en los tres sistemas estándares de referencia angular: [[grados sexagesimales]], grados centesimales y radianes.

'''Ejemplos:'''

:Seno de 45 grados   = 0,7071
:Seno de 45 radianes = 0,8509.

Obsérvese que la diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, entonces, pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo ''π'' es el [[número π|número Pi]]. Ejemplo de conversiones:

:Rad = Deg * π/180
:Deg = Rad * 180/π.

La comprobación del modo en curso de una calculadora se hace con valores conocidos: <math>\pi</math> y 90º:

:<math>\sen \pi = 0</math> en caso del modo de radianes activo.
:<math>\sen 90 = 1</math> en caso del modo de grados sexagesimales activo.

== Representación gráfica ==
<!-- [[Archivo:Trigono 010.svg|thumb|left|300px]] -->
[[Archivo:Función Trigonométrica R100.svg|thumb|center|600px]]

== Véase también ==
* [[Función impar]]
* [[Función periódica]]
* [[Sinusoide]]
* [[Período de oscilación]]
* [[Teorema del seno]]
* [[Trigonometría]]
* [[Función trigonométrica]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
* {{MathWorld|Sine|Seno}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Funciones trigonométricas]]

[[no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens]]