Ver el código de «Regla del producto (cálculo)»

En [[análisis matemático]], la '''regla del producto''' o '''regla de [[Leibniz]] para la derivación de un producto''', gobierna la [[derivada|derivación]] del producto de [[función (matemáticas)|funciones]] derivables.

Puede declararse informalmente como "''la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda''" o matemáticamente:
:<math> (f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \, </math>

O usando la [[notación de Leibniz]]:
:<math> {d\over dx}(u\cdot v) = u{dv\over dx} + v{du\over dx} </math>.

== Demostración ==

Se puede demostrar la regla usando las características del [[Límite de una función|límite]] y la definición de la derivada como el límite del [[cociente de la diferencia]].

Sea
:<math> f(x) = g(x)h(x) \,</math>

con ''g'' y ''h'' continuas y diferenciables en la variable ''x''. Entonces
:<math> f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}  = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(g \cdot h)(x + \Delta x) - (g \cdot h)(x)}{\Delta x}</math> 
:<math>  = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}</math>

Como
:<math> g\left(x + \Delta x\right)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) = g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) + g(x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x),</math>

se tiene
:<math> f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) + g(x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x)}{\Delta x}</math>

:<math>  = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}</math>

:<math>  = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right)\right]</math>

Distribuyendo ahora el límite entre la suma y los productos (ver [[Límite de una función#Propiedades de los límites|''propiedades'']]), obtenemos que

:<math>f'(x) = \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right]</math>

Como ''h'' es continua en ''x'', se tiene

:<math>\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x) = h(x)</math>

y por la [[definición (matemática)|definición]] de la derivada, y la diferenciabilidad de ''h'' y ''g'' en ''x'', se tiene también

:<math>\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right] = h'(x)</math> y <math>\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right] = g'(x)</math>

Por tanto,

:<math>f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) \,</math>

lo cual termina la prueba.

== Ejemplo ==
Suponiendo que se quiere derivar:
: <math> f(x) = x^2 \, \sin(x) </math>

Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:
: <math> f^\prime (x) = 2 x \, \sin(x) + x^2 \, \cos(x) </math>

:ya que la derivada de <math> x^2 \,</math> es <math> 2x \,</math>

:y la derivada de <math> \sin(x) \, </math> es <math> \cos(x) \, </math>.
==Regla generalizada del producto (o fórmula de Leibnitz de la derivada ''n''-esima)==
Esta regla puede ser generalizada para la obtención del término de una derivación sucesiva de producto.
Sean <math>f</math> y <math>g</math> funciones ''n''-veces diferenciables. La derivada ''enésima'' del producto <math>f\cdot g</math> viene dada por:

:<math>(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}</math>

donde <math>{n \choose k}</math> es llamado [[coeficiente binomial]].

Esto es probado a través de la regla del producto e [[inducción matemática|inducción]].

== Véase también ==

*[[Regla del cociente]]

== Referencias ==
{{listaref}}
* {{MathWorld|ProductRule|Regla del producto}}



{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Reglas de derivación|Producto]]