Ver el código de «Logaritmo»

{{distinguir|Algoritmo}}
{{Ficha de función
|nombre       = Logaritmo
|gráfica      = Logarithms.svg 
|gráfica_tamaño = 300px
|función      = <math>\log_b(x) := \frac {\ln(x)}{\ln(b)} \,\!\,</math><br /><math>\scriptstyle \mathrm{con} \; b \ \in \ \mathbb{R}_+\setminus\{ 1\}</math>
|tipo         = [[Función real]]
|descubridor  = [[John Napier]] (1614)
|dominio      = <math>(0,+\infty)\,</math>
|codominio    = <math>(-\infty,+\infty)\,</math>
|imagen       = <math>(-\infty,+\infty)\,</math>
|propiedades  = [[Función biyectiva|Biyectiva]]<br />[[Función cóncava|Cóncava]]<br />[[Función monótona|Estrictamente creciente]]<br />[[Función trascendente|Trascendente]]
|derivada     = <math>\frac{1}{x\ln(b)}\,</math>
|primitiva    = 
|inversa      = <math>b^x\,</math>
|límite       = <math>\lim_{x\to 0^+ \atop b>1}\log_b(x)=-\infty\,</math><br /><math>\lim_{x\to+\infty \atop b>1}\log_b(x)=+\infty\,</math><math>\lim_{x\to 0^+ \atop 0<b<1}\log_b(x)=+\infty\,</math><br /><math>\lim_{x\to+\infty \atop 0<b<1}\log_b(x)=-\infty\,</math>
|relacionadas = [[Función exponencial]]
|notas        = El <span style="color:red">rojo</span> representa el logaritmo en base [[Número e|''e'']]. <br />El <span style="color:green">verde</span> corresponde a la base 10. <br />El <span style="color:purple">púrpura</span> al de la base 1,7.
}}

En [[matemáticas|análisis matemático]], usualmente, el '''logaritmo''' de un número real positivo —en una base de logaritmo determinada— es el [[exponencial|exponente]] al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo: el logaritmo en base 10 de 1000 es 3, <math> \log_{10}1000 = 3 </math>, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10<sup>3</sup> = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la [[suma]] es la [[resta]] y la de la [[multiplicación]] la [[división (matemática)|división]], el '''cálculo de logaritmos''' es la operación inversa a la [[exponenciación]] de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3<sup>5</sup>=243 luego log<sub>3</sub>243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por [[John Napier]] a principios del [[siglo XVII]] como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando [[regla de cálculo|reglas de cálculo]] y [[tabla de logaritmos|tablas de logaritmos]]. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante —por [[identidades logarítmicas]]— que el logaritmo de un [[producto (matemáticas)|producto]] es la [[suma]] de los logaritmos de los factores:
:<math> \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,</math>
La noción actual de los logaritmos viene de [[Leonhard Euler]], quien conectó estos con la [[función exponencial]] en el [[siglo XVIII]].

== Introducción ==
Los logaritmos, que hacen posible transformar una [[multiplicación]] en una [[suma]], una [[División (matemática)|división]] en una [[resta]], una [[Potenciación|potencia]] en un producto y una [[Radicación|raíz]] en una división, tuvieron gran importancia porque simplificaban los cálculos numéricos; hoy en día, con las [[calculadora]]s y los [[ordenador]]es, las operaciones con logaritmos han cambiado sustancialmente.<ref>{{Cita libro |apellido=Arias Cabezas |apellido2=Maza Sáez |nombre=José María |nombre2=Ildefonso |año=2008 |título=Matemáticas 1 |fechaacceso=30 de abril de 2017 |página=13|capítulo=Aritmética y Álgebra |lugar=Madrid |editorial=Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada |apellido-editor=Carmona Rodríguez |apellido-editor2=Díaz Fernández |nombre-editor=Manuel |nombre-editor2=Francisco Javier|isbn=9788421659854 |número-autores=2}}</ref>

== Definición ==

Dado un número real (argumento ''x''), la función logaritmo le asigna el exponente ''n'' (o potencia) a la que un número fijo ''b'' (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la [[función inversa]] de ''b a la potencia n''. Esta función se escribe como: ''n'' = log<sub>''b''</sub> ''x'', lo que permite obtener ''n''.<ref>{{MathWorld |http://mathworld.wolfram.com/Logarithm.html}}</ref>
{{ecuación|
<math>\log_b x = n \quad \Leftrightarrow\ \quad x = b^n\,</math>
||left}}

(Esto se lee como: logaritmo en base ''b'' de ''x'' es igual a ''n''; si y solo si ''b'' elevado a la ''n'' da por resultado ''x''.)

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base ''b'' tiene que ser positiva y distinta de 1 (''b''> 0 y ''b'' ≠ 1), ''x'' tiene que ser un número positivo ''x'' > 0 y ''n'' puede ser cualquier número real (''n'' ∈ '''R''').<ref>{{Cita libro |apellido=González |nombre=Mario O. |apellido2=Mancill |nombre2=Julián |título=Álgebra Elemental Moderna |editorial=Editorial Kapelusz |ubicación=Buenos Aires |año=1980 |página=243}}</ref>

Así, en la expresión 10<sup>2</sup> = 100, el logaritmo en base 10 de 100 es 2, y se escribe como log<sub>10</sub> 100 = 2.

== Propiedades generales ==
Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; log<sub>''b''</sub>&nbsp;''b''&nbsp;=&nbsp;1 ya que ''b''<sup>1</sup>&nbsp;=&nbsp;''b''. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); log<sub>''b''</sub>&nbsp;1=0 ya que ''b''<sup>0</sup>&nbsp;=&nbsp;1.

Si el número real ''a'' se encuentra dentro del [[intervalo (matemáticas)|intervalo]] 0&nbsp;<&nbsp; ''a''&nbsp;<&nbsp;1 entonces log<sub>''b''</sub>&nbsp;''a'' da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo [[imagen de una función|recorrido]] es (-∞, +∞). También usando la identidad logarítmica log<sub>''b''</sub>(''x/y'')=log<sub>''b''</sub>&nbsp;''x''&nbsp;-&nbsp;log<sub>''b''</sub>&nbsp;''y''; puesto que ''a'' pertenece al intervalo 0&nbsp;<&nbsp; ''a''&nbsp;<&nbsp;1, su [[inverso multiplicativo|inverso]] ''a''<sup>-1</sup> será mayor que uno, con lo que log<sub>''b''</sub>(''a'')=log<sub>''b''</sub>(1/''a''<sup>-1</sup>) = log<sub>''b''</sub> 1 - log<sub>''b''</sub>(''a''<sup>-1</sup>)= -log<sub>''b''</sub>(''a''<sup>-1</sup>).

Los números negativos no tienen logaritmo en el [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] de los [[número real|reales]] '''R''', ya que cualquiera que sea el exponente ''n'', se tendrá siempre que ''b''<sup>''n''</sup> será mayor que cero, ''b''<sup>''n''</sup> > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de ''n'' que pueda satisfacer ''b''<sup>''n''</sup> = ''x'' cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el [[dominio de definición]] al cuerpo de los [[número complejo|números complejos]] '''C''', pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el [[logaritmo complejo]] o recurriendo a la [[fórmula de Euler]].

Las potencias consecutivas de una base forman una [[progresión geométrica]] y la de los exponentes una [[progresión aritmética]]. Por ejemplo, las [[potencias de 2]] son 1,2,4,8,16,32,64,…, etc., y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4, …, etc., ya que 2<sup>0</sup> = 1, 2<sup>1</sup> = 2, 2<sup>2</sup> = 4, 2<sup>3</sup> = 8, y 2<sup>4</sup> = 16, etc., luego [[logaritmo binario|log<sub>2</sub>]] 1 = 0, log<sub>2</sub> 2 = 1, log<sub>2</sub> 4 = 2, log<sub>2</sub> 8 = 3 y log<sub>2</sub> 16 = 4, etc.

== Propiedades algebraicas ==
{{AP|Identidades logarítmicas}}
En esta parte se destaca la capacidad operativa del uso de logaritmos en el sentido de operaciones coligadas; mediante logaritmos, una operación se convierte en otra operación de menor nivel. Por ejemplo, un producto de n factores se reduce a una adición de n sumandos.

Ciertamente, las siguientes proposiciones funcionan como identidades para los valores de su dominio de definición. Sin embargo, el éxito de la invención y uso de los logaritmos, justamente, radicó en poder convertir productos en sumas; cocientes en restas; potencia en producto y raíz de grado ''n'' en un cociente. Este hecho permite decir que, en su momento, el uso de logaritmos produjo un cambio revolucionario en los cálculos, empleados en la astronomía, navegación y matemática financiera aplicada a la banca y los negocios colaterales.<ref>Kasner-Newman: ''Matemática e imaginación''.</ref>
Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:
* El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
::<math> \!\, \log_b(x y) = \log_b(x) + \log_b(y) \,</math>

* El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
::<math> \!\, \log_b \left ( \frac{x}{y} \right ) = \log_b(x) - \log_b(y) \,</math>

* El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
::<math> \!\, \log_b(x ^ y) = y \log_b(x) \,</math>
* El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.
::<math> \!\, \log_b(\sqrt[y]{x}) = \frac{\log_b(x)}{y} \,</math>

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:
::<math> \!\, \sqrt[y]{x} = x^\frac{1}{y} \,</math>

=== Selección y cambio de base ===
Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el [[logaritmo natural]], cuya base es [[Número e|e]], base 10 ([[logaritmo común]]), base 2 ([[logaritmo binario]]), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al ''logaritmo de x en base b'' (suponiendo que ''b'', ''x'', y ''k'' son números reales positivos y que tanto ''b'' como ''k'' son diferentes de 1):

:<math>\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!\,</math>

en la que ''k'' es cualquier base válida. Si hacemos ''k''=''x'', obtendremos:

:<math>\log_b(x) = \frac {1}{\log_x(b)}.</math>

El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en [[física]], [[matemáticas]], [[ingeniería]] y en [[ciencia]]s en general. También es bastante utilizado el [[logaritmo decimal]], que se indica como <math>\log(x)\,\!\,</math>, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada [[pH]]) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad ([[candela]]), de [[intensidad de sonido]] ([[Decibelio|dB]]), de la energía de un terremoto ([[escala sismológica de Richter]]), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.

== Propiedades analíticas ==
Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de ''[[función (matemáticas)|función]]''. Un ejemplo es la función que produce la ''x''-ésima potencia de ''b'' para cualquier número real ''x'', donde la base (o [[Raíz de una función|raíz]]) ''b'' es un número fijo. Esta función se escribe como

:<math>f(x) = b^x \, </math>

=== Función logarítmica ===
Para garantizar la definición de logaritmos, es necesario demostrar que para la [[ecuación exponencial]]

:<math>b^x = y \,</math>

existe una única solución ''x'' , asumiendo que ''y'' es positivo y que ''b'' es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del [[teorema del valor intermedio]] del [[cálculo]] elemental.{{Harvnp|Lang|1997|loc=Sección III.3}} Este teorema establece que una [[función continua]] que produce dos valores ''m'' y ''n'' también produce cualquier valor que se encuentre entre ''m'' y ''n''. Una función es ''continua'' si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.

Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}}. Puesto que ''f'' toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier número {{nowrap|''y'' > 0}} que se encuentra entre ''f''(''x''<sub>0</sub>) y ''f''(''x''<sub>1</sub>) para un adecuado ''x''<sub>0</sub> y ''x''<sub>1</sub>. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación ''f''(''x'') = ''y'' tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función ''f'' es [[función monótona|estrictamente creciente]] (para {{nowrap|''b'' > 1}}), o estrictamente decreciente (para {{nowrap|0 < ''b'' < 1}}).{{Harvnp|Lang|1997|loc=Sección IV.2}}

La única solución ''x'' es el logaritmo de ''y'' en la base ''b'', log<sub>''b''</sub>(''y''). La función que asigna a cada ''y'' su logaritmo se llama ''función logaritmo'' o ''función logarítmica'' (o ''logaritmo'' a secas).

=== Función inversa ===
[[Archivo:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|derecha|miniatura|Gráfico de la función logarítmica log<sub>''b''</sub>(''x'') (azul) se obtiene mediante [[Reflexión (matemáticas)|reflexión]] del gráfico de la función ''b''<sup>''x''</sup> (roja) sobre la línea diagonal ({{nowrap begin}}''x'' = ''y''{{nowrap end}}).|alt=The graphs of two functions.]]
La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número ''x'',
:<math>\log_b \left (b^x \right) = x \log_b(b) = x.</math>
En lenguaje llano, tomando la {{nowrap|''x''-ésima}} potencia de ''b'' y luego el {{nowrap|base-''b''}} logaritmo se vuelve a obtener ''x''. De modo contrario, dado un número positivo ''y'', la fórmula
:<math>b^{\log_b(y)} = y</math>
dice que tomando primero el logaritmo y después exponenciando se vuelve a obtener ''y''. Así, las dos maneras posibles de combinar (o [[Función compuesta|componer]]) logaritmos y exponenciales vuelve a dar el número original. Por lo tanto, el logaritmo en base ''b'' es la ''[[función inversa]]'' de {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}}.<ref>{{Obra citada |apellido1=Stewart |nombre1=James |título=Single Variable Calculus: Early Transcendentals |editorial=Thomson Brooks/Cole |ubicación=Belmont |isbn=978-0-495-01169-9 |año=2007}}, section 1.6</ref>

Las funciones inversas están íntimamente relacionadas con las funciones originales. Sus [[Gráfica de una función|gráficos]] se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas ''x'' e ''y'' (o por reflexión sobre la línea diagonal ''x'' = ''y''), como se muestra en la figura de la derecha: un punto (''t'', ''u'' = ''b''<sup>''t''</sup>) sobre el gráfico de ''f'' proporciona un punto (''u'', ''t'' = log<sub>''b''</sub>''u'') sobre el gráfico del logaritmo y viceversa.

===Crecimiento o decrecimiento de la función===

Como consecuencia, log<sub>''b''</sub>(''x'') [[Límite de una sucesión|tiende a + infinito]] (se hace más grande que cualquier número dado) si ''x'' aproxima a + infinito, siempre que ''b'' sea mayor que 1. En ese caso, log<sub>''b''</sub>(''x'') es un [[Función monótona|función creciente]]. Para {{nowrap|''b'' < 1}}, log<sub>''b''</sub>(''x'') tiende a menos infinito en lugar de a infinito. Cuando ''x'' se aproxima a cero, log<sub>''b''</sub>(''x'') tiende a menos infinito para {{nowrap|''b'' > 1}} (a más infinito cuando {{nowrap|''b'' < 1}}, respectivamente). En cualquier caso, y para todo valor apropiado de la base b, la gráfica de la función logarítmica corta al eje de las abscisas en el punto (1,0).

=== Derivada e integral indefinida ===
[[Archivo:Logarithm derivative.svg|derecha|miniatura|220px|El gráfico del logaritmo natural (verde) y su tangente en {{nowrap|''x'' {{=}} 1.5}} (negro)|alt=A graph of the logarithm function and a line touching it in one point.]]
Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas.{{Harvnp|Lang|1997|loc=Sección III.3}} Así, como {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}} es una función continua y [[función diferenciable|diferenciable]], también lo será log<sub>''b''</sub>(''y''). Toscamente hablando, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene «trazos puntiagudos». Más aún, como la [[derivada]] de ''f''(''x'') evaluada en ln(''b'')''b''<sup>''x''</sup> por las propiedades de la [[función exponencial]], la [[regla de la cadena]] implica que la derivada de log<sub>''b''</sub>(''x'') es dada por{{Harvnp|Lang|1997|loc=Sección IV.2}}<ref>{{Cita web |obra=Wolfram Alpha |título=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))'' |editorial=[[Wolfram Research]] |fechaacceso=15 de marzo de 2011 |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x)) }}</ref>
{{ecuación|
<math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>
||left}}
Esto es, la [[pendiente (matemáticas)|pendiente]] de la [[tangente (geometría)|tangente]] que toca el gráfico del logaritmo en {{nowrap|base-''b''}} en el punto {{nowrap|(''x'', log<sub>''b''</sub>(''x''))}} es igual a {{nowrap|1/(''x'' ln(''b''))}}. En particular, la derivada de ln(''x'') es 1/''x'', lo que implica que la [[integral indefinida]] de 1/''x'' es {{nowrap|ln(''x'') + C}}.La derivada con un argumento funcional generalizado ''f''(''x'') es
{{ecuación|
<math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>
||left}}
El cociente del miembro derecho es denominado [[derivada logarítmica]] de ''f''. Calcular ''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'') por medio de la derivada de ln(''f''(''x'')) se conoce como [[diferenciación logarítmica]].<ref>{{Obra citada |apellido1=Kline |nombre1=Morris | author1-link=Morris Kline |título=Calculus: an intuitive and physical approach |editorial=[[Dover Publications]] |ubicación=New York |serie=Dover books on mathematics |isbn=978-0-486-40453-0 |año=1998}}, p. 386</ref> La integral indefinida del logaritmo natural ln(''x'') es:<ref>{{Cita web |obra=Wolfram Alpha |título=Calculation of ''Integrate(ln(x))'' |editorial=Wolfram Research |fechaacceso=15 de marzo de 2011 |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x)) }}</ref>
{{ecuación|
<math>\int \ln(x) \,\text{d}x = x \ln(x) - x + C.</math>
||left}}
[[Lista de integrales de funciones logarítmicas|Fórmulas relacionadas]], tales como integrales indefinidas de logaritmos en otras bases pueden ser obtenidas de esta ecuación usando el cambio de bases.<ref>{{Cita Harvard |Abramowitz|Stegun|1972| p=69}}</ref>

=== Representación integral del logaritmo natural ===
[[Archivo:Natural logarithm integral.svg|derecha|miniatura|El logaritmo natural de ''t'' es el área sombreada bajo el gráfico de la función ''f''(''x'') = 1/''x'' (inversa de ''x'').|alt=A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.]]
{{AP|Logaritmo natural}}
El logaritmo natural de ''t'' concuerda con la [[integral]] de 1/''x''&nbsp;''dx'' desde 1 a ''t'':
:<cite id=integral_naturallog><math>\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math></cite>
En otras palabras, ln(''t'') es igual al área entre el eje ''x'' y el gráfico de la función 1/''x'', recorrido desde {{nowrap begin}}''x'' = 1{{nowrap end}} a {{nowrap begin}}''x'' = ''t''{{nowrap end}} (figura a la derecha). Esto es una consecuencia del [[teorema fundamental del cálculo]] y del hecho de que la derivada de ln(''x'') sea 1/''x''. El miembro de la derecha de esta ecuación puede servir con una definición para el logaritmo natural. Las fórmulas del producto y potencias de logaritmo pueden ser obtenidas de esta definición.<ref>{{Obra citada |apellido1=Courant |nombre1=Richard |título=Differential and integral calculus. Vol. I |editorial=[[John Wiley & Sons]] |ubicación=New York |serie=Wiley Classics Library |isbn=978-0-471-60842-4|mr=1009558 |año=1988}}, section III.6</ref> Por ejemplo, la fórmula del producto {{nowrap begin}}ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u''){{nowrap end}} se deduce como:

:<math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>

La igualdad (1) descompone la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable ({{nowrap begin}}''w'' = ''x''/''t''{{nowrap end}}). En la ilustración de abajo, la descomposición corresponde a dividir el área en las partes azul y amarilla. Reescalando el área azul de la izquierda verticalmente mediante el factor ''t'' y contrayendo esta por el mismo factor horizontalmente no se cambia su tamaño. Moviéndola apropiadamente, el área de la gráfica se ajusta a la función {{nowrap begin}}''f''(''x'') = 1/''x''{{nowrap end}} de nuevo. Por lo tanto, el área azul del término izquierdo, que es la integral de ''f''(''x'') desde ''t'' a ''tu'' es la misma que la de la integral desde ''1'' a ''u''. Esto justifica la igualdad (2) con otra demostración geométrica más.

[[Archivo:Natural logarithm product formula proven geometrically.svg|miniatura|centrado|500px|Una demostración visual de la fórmula del producto del logaritmo natural.|alt=The hyperbola depicted twice. The area underneath is split into different parts.]]

La fórmula de la potencia {{nowrap begin}}ln(''t''<sup>''r''</sup>) = ''r'' ln(''t''){{nowrap end}} puede ser obtenida de manera similar:

:<math>
\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).
</math>
La segunda igualdad usa los cambios de variable ([[integración por sustitución]]), {{nowrap begin}}''w'' := ''x''<sup>1/''r''</sup>{{nowrap end}}.

La suma sobre los inversos de los números naturales,
:<math>1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math>
es llamada [[serie armónica (matemáticas)|serie armónica]]. Está estrechamente vinculada al logaritmo natural: cuando ''n'' tiende a [[infinito]], la diferencia,
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),</math>
[[Convergencia (matemáticas)|converge]] (es decir, se aproxima arbitrariamente cerca) a un número conocido como [[constante de Euler-Mascheroni]]. Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos, como [[quicksort]].<ref>{{Obra citada |apellido1=Havil |nombre1=Julian |título=Gamma: Exploring Euler's Constant |editorial=[[Princeton University Press]] |isbn=978-0-691-09983-5 |año=2003}}, sections 11.5 and 13.8</ref>

=== Trascendencia del logaritmo ===

El logaritmo es un ejemplo de [[función trascendente]] y desde un punto de vista teórico, el [[teorema de Gelfond-Schneider]] afirma que los logaritmos suelen tomar valores «difíciles». La declaración formal se basa en la noción de [[número algebraico|números algebraicos]], que incluye a todos los [[número racional|números racionales]], pero también números tales como la [[raíz cuadrada de 2]] o
: <math>
   \sqrt{-5+\sqrt[3]{\cfrac{3}{13}}}
</math>

[[Número complejo|Números complejos]] que no son algebraicos son llamados [[numero trascendente|transcendentes]];<ref>{{Obra citada |título=Selected papers on number theory and algebraic geometry |volumen=172 |nombre1=Katsumi |apellido1=Nomizu |ubicación=Providence, RI |editorial=AMS Bookstore |año=1996 |isbn=978-0-8218-0445-2 |página=21 |url=http://books.google.com/books?id=uDDxdu0lrWAC&pg=PA21}}</ref> por ejemplo, π y ''e'' son dos de esos números. Casi todos los números complejos son trascendentes. Usando estas nociones, el teorema de Gelfond–Scheider declara que dados dos números algebraicos ''a'' y ''b'', log<sub>''b''</sub>(''a'') es, o un número trascendente, o un número racional ''p'' / ''q'' (en cuyo caso ''a''<sup>''q''</sup> = ''b''<sup>''p''</sup>, de manera que, para empezar, ''a'' y ''b'' estaban estrechamente relacionados).<ref>{{Obra citada |apellido1=Baker |nombre1=Alan|author1-link=Alan Baker (mathematician) |título=Transcendental number theory |editorial=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-20461-3 |año=1975}}, p. 10.</ref>

== Cálculo ==
Los logaritmos son fáciles de calcular en algunos casos, tales como {{nowrap begin}}log<sub>10</sub>(1000) = 3{{nowrap end}}. En general, los logaritmos pueden ser calculados usando [[serie de potencias|series de potencias]] o la [[media aritmético-geométrica]], o ser obtenidos de una [[tabla de logaritmos]] precalculada que proporciona una precisión fijada.<ref>{{Obra citada |apellido1=Muller |nombre1=Jean-Michel |título=Elementary functions |editorial=Birkhäuser Boston |ubicación=Boston, MA |edición=2nd |isbn=978-0-8176-4372-0 |año=2006}}, sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)</ref><ref>{{Obra citada |autor=Hart, Cheney, Lawson ''et al.'' |año=1968 |editorial=John Wiley |ubicación=New York |título=Computer Approximations |serie=SIAM Series in Applied Mathematics}}, section 6.3, pp. 105-111</ref>
El [[método de Newton]], un método iterativo para resolver ecuaciones aproximadamente, puede ser usado también para calcular el logaritmo, porque su función inversa, la función exponencial, puede ser calculada eficientemente.<ref>{{Obra citada |apellido1=Zhang |nombre1=M. |apellido2=Delgado-Frias |nombre2=J. G. |apellido3=Vassiliadis |nombre3=S. |título=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation |url=http://ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf |doi=10.1049/ip-cdt:19941268 |publicación=IEE Proceedings Computers & Digital Techniques |issn=1350-387 |volumen=141 |año=1994 |número=5 |páginas=281-292 |fechaacceso=23 de junio de 2012 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20120509081116/http://ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf |fechaarchivo=9 de mayo de 2012 }}, section 1 for an overview</ref> Usando tablas de referencias, métodos como [[CORDIC]] pueden ser usados para calcular logaritmos si la únicas operaciones disponibles son la adición y el [[Desplazamiento aritmético|desplazamiento de bits]].<ref>{{Obra citada |nombre=J. E. |apellido=Meggitt |título=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes |publicación=IBM Journal|fecha = abril de 1962 |doi=10.1147/rd.62.0210}}</ref><ref>{{Obra citada |apellido=Kahan |nombre=W. |enlaceautor=William Kahan |título=Psuedo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials |fecha=20 de mayo de 2001}}</ref> Más aún, el [[Logaritmo binario|algoritmo del logaritmo binario]] calcula lb(''x'') [[recursión|recursivamente]] basado en la repetición cuadrática de ''x'', aprovechando la relación
:<math>\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,</math>

=== Serie de potencias ===
==== Serie de Taylor ====
{{ap|Serie de Taylor}}
[[Archivo:Taylor approximation of natural logarithm.gif|derecha|miniatura|Serie de Taylor de &nbsp;ln(''z'') at&nbsp;''z''&nbsp;=&nbsp;1. La animación muestra las primeras &nbsp;10 aproximaciones junto con las aproximaciones 99 y 100.|alt=An animation showing increasingly good approximations of the logarithm graph.]]
Para cualquier número real ''z'' que satisfaga {{nowrap|0 < ''z'' < 2}}, la siguiente [[serie de potencias]] se cumple:{{#tag:ref|La misma serie se cumple para el valor principal del logaritmo complejo para números complejos ''z'' que satisfacen que <nowiki>|</nowiki>''z'' − 1<nowiki>|</nowiki> < 1.|group=nb}}<ref name=AbramowitzStegunp.68>{{Cita Harvard |Abramowitz|Stegun|1972| p=68}}</ref>
:<math>
\ln (z) = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots
</math>
Esta es una manera rápida de decir que ln(''z'') puede ser aproximado a un valor más y más preciso mediante las siguientes expresiones:
:<math>
\begin{array}{lllll}
(z-1) & & \\
(z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & \\
(z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\
\vdots &
\end{array}
</math>
Por ejemplo, con {{nowrap|''z'' {{=}} 1.5}} la tercera aproximación obtiene 0.4167, que es alrededor de 0.011 mayor que {{nowrap|ln(1.5) {{=}} 0.405465}}. Esta [[serie matemática|serie]] aproxima ln(''z'') con precisión arbitraria, siempre que el número de sumandos sea lo suficientemente grande. En cálculo elemental, ln(''z'') es por tanto, el [[límite matemático|''límite'']] de la serie. Esta es la serie de Taylor del logaritmo natural en {{nowrap begin}}''z'' = 1{{nowrap end}}. La serie de Taylor de ln ''z'' proporciona una particular aproximación útil de ln(1+''z'') cuando ''z'' es pequeño, ''|z| << 1'', puesto que
:<math>
\ln (1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \cdots \approx z.
</math>
Por ejemplo, con ''z'' = 0,1 el primer orden de aproximación da ln(1,1) ≈ 0.1, que es menor del 5&nbsp;% del valor correcto 0,0953.

==== Series más eficientes ====

Otra serie está basada en la función [[Función hiperbólica#Inversas de las funciones hiperbólicas|argumento de tangente hiperbólica]]:
:<math>
\ln (z) = 2\cdot\operatorname{artanh}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left ( \frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right ),
</math>
para cualquier número real ''z'' > 0.{{#tag:ref|La misma serie se cumple para el valor principal del logaritmo complejo para números complejos ''z'' con parte real positiva.|group=nb}}<ref name=AbramowitzStegunp.68 /> Usando la [[Sumatorio|notación sumatorio]] esta también puede ser escrita como
:<math>\ln (z) = 2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}.</math>
Esta serie se puede obtener de la serie de Taylor anterior. Converge más rápido que la serie de Taylor, especialmente si ''z'' es cercano a 1. Por ejemplo, para {{esd|''z'' = 1,5}}, los tres primeros términos de la segunda serie aproximan ln(1,5) con un error del entorno de 3×10<sup>−6</sup>. La rápida convergencia para ''z'' cercano a 1 puede ser tomada como una ventaja de la siguiente manera.: da una aproximación de baja exactitud {{nowrap|''y'' ≈ ln(''z'')}} y calculando
:<math>A = \frac z{\exp(y)}, \,</math>
el logaritmo de ''z'' es:
:<math>\ln (z)=y+\ln (A). \,</math>
Cuando mejor es la aproximación inicial ''y'', más cerca está ''A'' de 1, así que su logaritmo puede ser calculado eficientemente. ''A'' puede ser calculado usando la [[función exponencial|serie exponencial]], que
converge rápidamente siempre que ''y'' no sea demasiado grande. Calculando el logaritmo de un ''z'' mayor, puede ser reducido a valores más pequeños que ''z'' mediante la escritura {{nowrap|''z'' {{=}} ''a'' · 10<sup>''b''</sup>}}, así que {{nowrap|ln(''z'') {{=}} ln(''a'') + ''b'' · ln(10)}}.

Un método íntimamente relacionado puede ser utilizado para calcular el logaritmo de enteros. De la serie anterior, se deduce que:
:<math>\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.</math>
Si el logaritmo de un entero grande ''n'' es conocido, entonces esta serie obtiene una veloz serie convergente para log(''n''+1).

=== Aproximación mediante media aritmético-geométrica ===

La [[media aritmético-geométrica]] da aproximaciones con gran precisión del logaritmo natural. ln(''x'') es aproximado con una precisión de 2<sup>−''p''</sup> (o ''p'' bits precisos) mediante la siguiente fórmula (dada por [[Carl Friedrich Gauss]]):<ref>{{Obra citada |nombre1=T. |apellido1=Sasaki |nombre2=Y. |apellido2=Kanada |título=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) |publicación=Journal of Information Processing |volumen=5 |número=4 |páginas=247-250 |año=1982 |url=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332 |fechaacceso=30 de marzo de 2011}}</ref><ref>{{Obra citada |nombre1=Timm |apellido1=Ahrendt |título=Fast computations of the exponential function |editorial=Springer |ubicación=Berlin, New York |serie=Lecture notes in computer science |doi=10.1007/3-540-49116-3_28 |volumen=1564 |año=1999 |páginas=302-312}}</ref>

:<math>\ln (x) \approx \frac{\pi}{2 M(1,2^{2-m}/x)} - m \ln (2).</math>

Aquí ''M'' denota la media aritmético-geométrica. Se puede obtener mediante el cálculo repetido de la media ([[media aritmética]]) y de la raíz cuadrada del producto de dos números ([[media geométrica]]). Más aún, ''m'' es escogido tal que

:<math>x \,2^m > 2^{p/2}.\, </math>

Ambas, media aritmético-geométrica y las constantes π y ln(2) pueden ser calculadas mediante series convergentes muy rápidas.

== Extensiones ==
Es posible extender el concepto de ''logaritmo'' más allá de los reales positivos.

=== Números reales ===
Para [[número entero|enteros]] ''b'' y ''x'', el número <math>\log_b(x)\,</math> es [[número irracional|irracional]] (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si ''b'' o ''x'' tienen un [[factorización|factor primo]] que el otro no tiene.

El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sin embargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos solo puede hacerse introduciendo números complejos.

Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de logaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la más frecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.

=== Números complejos ===
{{AP|Logaritmo complejo}}
[[Archivo:Complex log.jpg|derecha|miniatura|Principal rama del logaritmo complejo, Log(''z''). <!-- El punto negro en {{nowrap|''z'' {{=}} 1}} corresponds to absolute value zero and brighter (more [[saturation (color theory)|saturated]]) colors refer to bigger absolute values. The [[hue]] of the color encodes the argument of Log(''z'').|alt=A density plot. In the middle there is a black point, at the negative axis the hue jumps sharply and evolves smoothly otherwise. -->]]
El logaritmo natural de un número complejo ''z'' es otro número complejo ''b'' = ln(''z'') que sea solución de la ecuación:
{{Ecuación|<math>z = e^b\;\,</math>|*|left}}
La ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de soluciones, aunque todas ellas son fáciles de encontrar. Dado un número complejo ''z'' escrito en forma polar, una solución posible de la ecuación {{Eqnref|*}} es ''b''<sub>0</sub>:
{{Ecuación|<math>b_0 = \ln \rho + i \theta \qquad \mbox{con}\ z = \rho e^{i\theta}\,</math>||left}}
Puede comprobarse que esta no es la única solución, sino que para cualquier valor <math>k\in\mathbb{Z}\,</math> resulta que el número complejo ''b<sub>k</sub>'', definido a continuación, también es solución:
{{Ecuación|<math>b_k = \ln \rho + i\theta + 2\pi ki \qquad \Rightarrow e^{b_k} = \rho e^{i\theta}\cdot e^{2\pi ki} = z\,</math>||left}}
De hecho cada valor particular de ''k'' define una [[superficie de Riemann]].

=== Logaritmo en base imaginaria ===
{{AP|Logaritmo en base imaginaria}}
Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base ''[[Número complejo#Unidad imaginaria|i]]'' (la ''[[Número complejo#Unidad imaginaria|unidad imaginaria]]''). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:
{{ecuación|
<math>\log_i(z) = {{2 \ln(z) } \over i\pi} .\,</math>
||left}}
Dónde ''z'' es cualquier [[número complejo]] excepto 0. Sin embargo, cabe señalar que la fórmula anterior solo es una de las posibles soluciones ya que la ecuación:
{{ecuación|
<math>i^\lambda = z\,</math>
||left}}
admite no solo la solución dada anteriormente sino que cualquier ''x'' de la forma:
{{ecuación|
<math>\lambda = \frac{2}{i \pi}\ln(z) + 4k = \log_i(z) + 4k , \qquad k \in \mathbb{Z}\,</math>
||left}}
también es solución.

=== Matrices ===
{{AP|Logaritmo de una matriz}}
Una matriz ''B'' es logaritmo de una matriz dada ''A'' si la [[Exponencial de matrices|exponenciación]] de ''B'' es ''A'':
{{ecuación|
<math> e^B = A\,</math>
||left}}
A diferencia de la [[exponenciación]] de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre. En el caso de una [[matriz diagonalizable]] es necesario que logaritmo esté definido para todos y cada uno de los [[autovalor]]es o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz está definido y es logaritmo de una matriz con autovalores positivos es otra matriz real. Si el 0 es un autovalor de la matriz, entonces su logaritmo no está definido.

Si el logaritmo está definido sobre el [[Espectro de un operador|espectro]] o conjunto de autovalores y estos incluyen algún número negativo, aun así es posible definir una matriz logaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos de números negativos o complejos), aunque no resulta única.

En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya que requiere encontrar primero su [[forma canónica de Jordan]].

=== Logaritmo discreto ===
{{AP|Logaritmo discreto}}

Los [[logaritmo discreto|logaritmos discretos]] son los análogos en [[grupo (matemáticas)|teoría de grupos]] de los logaritmos ordinarios. En particular, un logaritmo ordinario log<sub>''a''</sub>(''b'') es una solución de la ecuación ''a''<sup>''x''</sup>&nbsp;=&nbsp;''b'' sobre [[número real|números reales]] o [[número complejo|números complejos]]. De manera similar, si ''g'' y ''h'' son elementos de un [[grupo cíclico]] [[conjunto finito|finito]] ''G'', entonces una solución ''x'' de la ecuación ''g''<sup>''x''</sup>&nbsp;=&nbsp;''h'' es llamada logaritmo discreto en la base ''g'' de ''h'' en el grupo ''G''.

Si (''G'','''·''') es un [[grupo cíclico]] finito de [[orden (teoría de grupos)|orden]] ''n'', donde '''·''' es el operador multiplicación, si se escoge un [[Conjunto generador de un grupo|generador]] ''g'' de ''G'', entonces cada elemento ''h'' de ''G'' puede ser escrito como ''h''&nbsp;=&nbsp;''g''<sup>''k''</sup> para algún entero ''k'', de manera que la función

:<math>\operatorname{log}_g:G \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>

asigna a cada ''h'' la [[Aritmética modular#Clases de equivalencia módulo n|clase de equivalencia módulo ''n'']] de ''k'', esto es, todos los ''k'' que cumplan que ''h''&nbsp;≡&nbsp;''g''<sup>''k''</sup> mod ''n''.

Este logaritmo tiene aplicaciones en criptografía, en especial en el [[Diffie-Hellman|método de intercambio de claves de Diffie-Hellman]] o en el [[Cifrado ElGamal|sistema de ElGamal]].
<!--
==Ecuaciones logarítmicas==
Se llama '''ecuación logarítmica''' aquella con la incógnita bajo el signo de logaritmo.

Ejemplos:

:<math>\log (x+3)- \frac{1}{2}\log(2x-3)= 2 - \log 25 </math> donde ''log'' significa logaritmo en base 10.

:<math>\log_2 (9^{x-1} + 7) = 2 \log_2 (3^{x-1} + 1) </math>
-->
== Historia ==
[[Archivo:John Napier (Neper).jpg|miniatura|[[John Napier]] (Neper), fue el primero que definió y desarrolló los logaritmos.]]
El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por [[John Napier]] (latinizado ''Neperus'') en 1614, en su libro titulado ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio''. [[Joost Bürgi]], un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por [[Kepler]], por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.

Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la [[astronomía]], facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en [[geodesia]], [[navegación marítima]] y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y [[computadora]]s. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió ''r''&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;10<sup>−7</sup>&nbsp;=&nbsp;0,999999 (Bürgi eligió ''r''&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;10<sup>−4</sup>&nbsp;=&nbsp;1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0, sino log&nbsp;10<sup>7</sup>&nbsp;=&nbsp;0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier calcula: ''N''&nbsp;=&nbsp;10<sup>7</sup>(1&nbsp;−&nbsp;10<sup>−7</sup>)<sup>''L''</sup>. Donde (1&nbsp;−&nbsp;10<sup>−7</sup>)<sup><span>10<sup>7</sup></span></sup> es aproximadamente 1/e, haciendo ''L''/10<sup>7</sup> equivalente a log<sub>1/''e''</sub>&nbsp;''N''/10<sup>7</sup>. Véase [[logaritmo neperiano]].

Inicialmente, Napier llamó «números artificiales» a los logaritmos y «números naturales» a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος (''logos'') el sentido de proporción, y ἀριθμός (''arithmos'') significado número, y se define, literalmente, como «un número que indica una relación o proporción». Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su «teorema fundamental», que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una [[progresión aritmética]] de logaritmos corresponde a una [[progresión geométrica]] de números. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo {{versalita|xvii}} y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.

== Véase también ==
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [[Identidades logarítmicas]]
* [[Cologaritmo]]
* [[Logaritmo binario]]
* [[Logaritmo natural]]
* [[Logaritmo neperiano]]
* [[Logaritmo decimal]]
* [[Logaritmo complejo]]
* [[Logaritmo en base imaginaria]]
* [[Logaritmo iterado]]
* [[Logaritmo discreto]]
* [[Logaritmo de una matriz]]
* [[Función exponencial]] La función inversa del logaritmo.
* [[Neper]]
* [[pH]]
* [[Decibelio]] (dB) unidad logarítmica para expresar la relación entre dos magnitudes, acústicas o eléctricas.
* [[Escala logarítmica]]
</div>

{{Función elemental}}

== Notas ==
{{listaref|group=nb|30em}}

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{Cita libro
	|apellidos = Lang
	 |nombre=Serge
	 |enlaceautor=Serge Lang
	 |título=Undergraduate analysis
	 |editorial=[[Springer-Verlag]]
	 |ubicación=Berlin, New York
	 |edición=2.ª
	 |serie=Undergraduate Texts in Mathematics
	 |isbn=978-0-387-94841-6
	|mr = 1476913
	 |año=1997}}
* {{Cita libro
	 |autor=Doctor Honoris Causa Rito Rizquez, University of Boston, J.
	 |título=Aritmética razonada}}
* {{Cita libro
	 |apellido=Marcos
	 |nombre=C.
	 |apellido2=Martínez
	 |nombre2=J.
	 |título=Matemáticas
	}}
* {{Cita libro
	|apellidos = González Aguilar
	 |título=Matemáticas
	}}
* {{Cita libro
	 |apellido=Chávez Reyes
	 |nombre=Carmen
	 |apellido2=León Quintanar
	 |nombre2=Adriana
	 |título=La Biblia de las Matemáticas
	}}

== Enlaces externos ==
{{commons|Logarithm}}
* {{MathWorld |id=Logarithm |titulo=Logarithm}}
* [http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-2-1-logaritmos.pdf Historia de los logaritmos por Francisco Javier Tapia Moreno]
* [http://personales.unican.es/gonzaleof/Sociales_1/ExpoLog.pdf Proyecto MaTeX: Logaritmos (formato PDF, 58 páginas).]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Logaritmos]]
[[Categoría:Funciones especiales elementales]]
[[Categoría:Ciencia y tecnología de Reino Unido del siglo XVII]]
[[Categoría:1614]]
[[Categoría:Ciencia y tecnología de Escocia]]
[[Categoría:Álgebra]]
[[Categoría:Análisis matemático]]