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En [[matemática| análisis real y complejo]], el concepto de '''límite''' es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una [[Sucesión matemática|sucesión]] o una [[función (matemáticas)|función]], a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En el análisis los conceptos de series convergentes, derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto de límite.

En [[cálculo infinitesimal|cálculo]] (especialmente en [[análisis real]] y [[análisis matemático|matemático]]) este concepto se utiliza para [[definición (matemática)|definir]] los conceptos fundamentales de [[convergencia (matemáticas)|convergencia]], [[Continuidad (matemática)|continuidad]], [[Derivada|derivación]], [[integración]], entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un [[espacio euclídeo]], es la clase de [[conjunto abierto|conjuntos abiertos]] [[topología inducida|inducidos]] por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros [[espacio topológico|espacios topológicos]], como pueden ser las [[red (matemática)|redes topológicas]]; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la [[teoría de categorías]].

Para fórmulas, el ''límite'' se utiliza usualmente de forma abreviada mediante '''lim''' como en lim(''a''<sub>''n''</sub>) = ''a'' o se representa mediante la flecha (→) como en ''a''<sub>''n''</sub> → ''a''.

== Límite de una sucesión ==
[[Archivo:Sucesión 001.svg|right|250px|thumb|La sucesión <math> a_{n} = 2^{(4-n)}</math> para <math>\scriptstyle n \in \mathbb{N}_0</math> converge al valor 0, como se puede observar en la ilustración.]]
{{AP|Límite de una sucesión}}

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto <math>L</math>, si existe,  para valores grandes de <math>n</math>. Esta definición es muy parecida a la definición del cuando  tiende a <math>\infty</math>.

Formalmente, se dice que la sucesión <math>a_n</math> '''tiende hasta su límite <math>L</math>''', o que '''converge''' o '''es convergente''' (a <math>L</math>), y se denota como:
{{ecuación|<math>\lim_{n\to\infty}a_n = L</math>||left}}
[[si y solo si]] para todo [[número real|valor real]] ''ε''>0 se puede encontrar un [[número natural]] <math>N</math> tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural <math>n</math> mayor que <math>N</math>, se acerquen a <math>L</math> cuando <math>n</math> crezca ilimitadamente. Escrito en un [[lenguaje formal]], y de manera compacta:
{{ecuación|<math>a_n \to L \Leftrightarrow</math> <math>\forall\varepsilon>0, \exists N>0 : \forall n > N, |a_n - L|<\varepsilon</math>||left}}
Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es ''divergente''.

== Límite de una función ==
[[Archivo:Límite 01.svg|thumb|250px|Visualización en un sistema de [[coordenadas cartesianas]] de los parámetros utilizados en la definición de límite.]]
{{AP|Límite de una función}}
En [[análisis real]] para [[función real|funciones]] de una variable, se puede hacer una [[definición (matemática)|definición]] de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un [[intervalo (matemática)|intervalo]] o [[radio de convergencia]] se van aproximando a un punto fijado ''c'' — [[punto de acumulación]] —, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función.<ref>Barbolla y otros: Introducción al análisis real</ref> Esto se puede generalizar aún más a [[Función matemática#Terminología, tradición y convenios|funciones de varias variables]] o funciones en distintos [[espacio métrico|espacios métricos]].

Coloquialmente, se dice que '''el límite de la función f(''x'') cuando ''x'' tiende a ''c'' es ''L''''' , y se escribe:
{{ecuación|
<math> \lim_{x\to c} \, \, f(x) = L</math>
||left}}
si se puede encontrar para cada ocasión un ''x'' suficientemente cerca de ''c'' tal que el valor de f(''x'') sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la '''definición épsilon-delta''' de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del [[análisis real]]. Su definición es la siguiente:
{{cita|"El límite de ''f(x)'' cuando ''x'' tiende a ''c'' es igual a ''L'' [[si y sólo si]] para todo [[número real]] ''ε'' mayor que cero existe un número real ''δ'' mayor que cero tal que si la distancia entre ''x'' y ''c'' es menor que ''δ'', entonces la distancia entre la [[Conjunto imagen|imagen]] de ''x'' y ''L'' es menor que ''ε'' unidades".}}
Esta definición, se puede escribir utilizando términos [[lenguaje formal|lógico-matemáticos]] y de manera compacta:
:<math>
   \begin{array}{l}
      \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff  \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 :  0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
   \end{array}
</math>
Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:
{{ecuación|
<math>\lim_{n\to \infty} x_n = c \Rightarrow \lim_{n\to \infty} f(x_n) = f(c)</math>
||left}}

== Límite de una sucesión de conjuntos ==
{{AP|Límite (sucesión de conjuntos)}}
En [[teoría de conjuntos]] también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la [[monotonía]] (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de [[límite superior y límite inferior]] para una sucesión de conjuntos cualquiera <math>A_n</math>, se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales. En general se tiene:
{{ecuación|
<math>\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n = {\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right) \le
\lim_{n\rightarrow\infty}A_n \le
\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n = {\bigcap_{n=1}^\infty} \left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right)</math>
||left}}
Si el límite primer término y el penúltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades. Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la [[teoría de la medida]], especialmente en [[espacio de probabilidad|espacios de probabilidad]]. No es difícil construir sucesiones no convergentes donde se verifica que:
{{ecuación|
<math>\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n < \limsup_{n\rightarrow\infty}A_n</math>
||left}}

== Límite en espacios topológicos ==

=== Redes ===
{{VT|Red (matemáticas)}}

Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a [[espacio topológico|espacios topológicos]] arbitrarios mediante la introducción de [[red (matemáticas)|redes]] topológicas y la definición de sus límites.

Sea <math>(X,T)</math> un [[espacio topológico]] y <math>(x_d)_{d \in D}</math> una red en <math>X</math>. Se dice que <math>x \in X</math> es un [[Punto de acumulación|punto límite]] de la red <math>(x \in \lim_{d \in D} x_d)</math> si la red está eventualmente en cada [[Entorno (matemática)|entorno]] de <math>x</math>, es decir, si cualquiera que sea el entorno <math>V</math> de <math>x</math> (esto es, cualquiera que sea el conjunto <math>V</math> de forma que exista un [[Conjunto abierto|abierto]] <math>G</math> tal que <math>x \in G \subset V</math>) existe un <math>d_0 \in D</math> de tal forma que para cada <math>d \in D</math> con <math>d_0 \sim d</math> se cumple que <math>x_d \in V</math>.

=== Filtros ===

{{VT|Filtro (matemáticas)}}

En el caso de [[Filtro (matemáticas)|filtros]], por ser objetos matemáticos similares a redes topológicas, también es posible la definición de límite. En efecto, sea ''X'' un espacio topológico y ''x'' un punto de ''X''. Se dice que un filtro base ''B'' converge a ''x'', denotado como ''B'' → ''x'' o <math>\lim \mathcal{B} = x</math>, si para todo [[entorno (matemática)|entorno]] ''U'' de ''x'', existe un ''B''<sub>0</sub> ∈ ''B'' tal que ''B''<sub>0</sub> ⊆ ''U''. En este caso, ''x'' se llama límite de ''B'' y ''B'' se denomina filtro base convergente.<ref name="gen_topo">{{cita libro|apellido=Bourbaki|nombre=Nicolas|título=General Topology: Chapters 1-4|fechaacceso=8 de junio de 2012|idioma=inglés|edición=reimpresa|año=1998|editorial=Springer|isbn=3540642412|páginas=68-73}}</ref><ref>{{cita libro|apellido=Sharma|nombre=J. N.|título=Krishna's Topology: (For Honours and Post Graduate Students of All Indian Universities)|fechaacceso=8 de junio de 2012|idioma=inglés|edición=37|año=2010|editorial=Krishna Prakashan Media|páginas=449}}</ref>

De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definición de [[función continua|continuidad]] a estas. Si ''X'', ''Y'' son dos espacios topológicos y ''f'': ''X'' → ''Y'' es una función, siendo ''B'' un filtro entorno en ''X'' de un punto ''a'' perteneciente a ''X'', entonces el límite con respecto al filtro ''B'' de ''f'' es ''y'', denotado como

:<math>\lim_\mathcal{B} f = y</math>

si ''B'' converge a ''a'', luego ''f'' converge a ''y''; dicho de otra forma, ''y'' es el límite de ''f'' en el punto ''a''.<ref name="gen_topo"/>

== Límite de Banach ==

{{AP|Límite de Banach}}

En [[análisis funcional]], un límite de Banach es un [[funcional lineal]] [[función continua|continuo]] <math>\phi: \ell_\infty \to \mathbb{R}</math> definido sobre el [[espacio de Banach]] <math>\ell_\infty</math> para toda [[Sucesión matemática|sucesión]] acotada de [[número complejo|números complejos]], donde se cumplen una serie de condiciones entre las que se encuentra que si <math>x_n</math> es una [[sucesión convergente]], entonces <math>\phi(x)=\lim_n x_n</math>, generalizando el concepto de límite. Por lo tanto, <math>\phi</math> es una extensión del funcional continuo <math>\lim: c\mapsto \mathbb C.</math><ref name="banach">{{PlanetMath|BanachLimit|Banach Limit}}</ref>

En particular, la existencia del límite de Banach no es única.<ref name="banach"/>

== Límites en teoría de categorías ==

{{AP|Límite (teoría de categorías)}}

En [[teoría de categorías]], una rama de la [[matemática]], se define el concepto abstracto de límite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales como [[producto (teoría de categorías)|productos]] y [[límite inverso|límites inversos]].

== Véase también ==
* [[Continuidad (matemáticas)]]
* [[Límite de una sucesión]]
* [[Límite de una función]]
* [[Red (matemática)#Límite de una red|Límite de una red topológica]]
* [[Límite superior y límite inferior]]
* [[Límite (teoría de categorías)]]
* [[Asíntota]]

== Referencias ==
{{listaref}}

=== Bibliografía ===
* {{cita libro|autor=Apostol, Tom M.|título=Análisis matemático: Introducción moderna al cálculo superior|año=1960|id=ISBN 84-291-5000-5|editorial=Reverté}}
* {{cita libro|autor=Rey Pastor, Julio|título=Análisis matemático: Teoría de ecuaciones; cálculo infinitesimal de una variable|año=1985|id=ISBN 950-13-3301-9|editorial=Kapelusz}}
* {{cita libro|autor=Gardner Bartle, Robert|título=Introducción al análisis matemático|año=1982|id=ISBN 968-18-0997-1|editorial=Limusa}}

=== Enlaces externos ===
* {{mathwords|l/limit|Limit}}
* {{MathWorld |id=Limit |titulo=Limit |fechaacceso=29 de mayo de 2010}}
* [https://archive.is/20130106144526/www.terra.es/personal2/jpb00000/tlimitesintroduccion.htm Límites de funciones. Introducción]
* [https://web.archive.org/web/20090228211155/http://matematicasies.com/spip.php?article951 Introducción al Cálculo de Límites] (vídeo)
{{ORDENAR:Limite matematico}}


{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Análisis matemático]]
[[Categoría:Topología general]]