Ver el código de «Hipopoda»

[[Archivo:PedalCurve1.gif|300px|right|thumb|Hipopoda (rojo) dada como [[podaria]] de una [[elipse]] (negro). La ecuación de la hipopoda es 4''x''<sup>2</sup>+''y''<sup>2</sup>=(''x''<sup>2</sup>+''y''<sup>2</sup>)<sup>2</sup>.]]

En [[geometría]], una '''hipopoda''' (del [[griego antiguo]] ἱπποπέδη, ''vínculo para inmovilizar las patas de un caballo'') es un [[curva plana]] determinada por una ecuación de la forma

: <math>(x^2+y^2)^2=cx^2+dy^2</math>,

donde se supone que ''c'' > 0 y que ''c'' > ''d'', ya que los casos restantes se reducen a un solo punto o se pueden expresar en la forma dada mediante una rotación. Las hipopodas son [[Curva algebraica|curvas algebraicas racionales]] [[curva algebráica circular|bicirculares]] de grado 4, simétricas con respecto a los {{nowrap|ejes ''x'' e ''y''}}.

== Casos especiales ==
* Cuando ''d'' > 0, la curva tiene una forma ovalada y se conoce a menudo como '''óvalo de Booth'''.
* Cuando ''d'' < 0, la curva se asemeja a una figura con forma de ocho, o [[lemniscata]], y en ocasiones se denomina '''lemniscata de Booth ''' (ambas en referencia al matemático del siglo XIX [[James Booth (matemático)|James Booth]], que estudió estas curvas).
* Las hipopodas también fueron investigadas por [[Proclo]] (por lo que a veces también se las llama ''Hipopodas de Proclo'') y [[Eudoxo de Cnido|Eudoxo]]. Para {{nowrap|1=''d'' = −''c''}}, la hipopoda se corresponde con la [[lemniscata|lemniscata de Bernoulli]].

==Definición como secciones espíricas==
[[Archivo:Hippopede02.svg|right|thumb|300px|Hipopodas con ''a'' = 1, ''b'' = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, y 2.0.]]
[[Archivo:Hippopede01.svg|right|thumb|300px|Hipopodas con ''b'' = 1, ''a'' = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, y 2.0.]]

Las hipopodas se pueden definir como la curva formada por la intersección de un [[toro (geometría)|toro]] y un plano, donde el plano es paralelo al eje del toro y tangente a él en el círculo interior. Por lo tanto, es un [[spira de Perseo]] que a su vez es un tipo de [[sección tórica]].

Si se gira un círculo con radio ''a'' alrededor de un eje a la distancia ''b'' desde su centro, entonces la ecuación de la hipopoda resultante en [[coordenadas polares]] es

: <math> r^2 = 4 b (a - b \sin^{2} \theta)</math>

o en [[coordenadas cartesianas]]

: <math>(x^2+y^2)^2+4b(b-a)(x^2+y^2)=4b^2x^2</math>.

Debe tenerse en cuenta que cuando ''a'' > ''b'', el toro se interseca a sí mismo, por lo que no se parece a la imagen habitual de un toro.

==Véase también==
*[[Anexo:Lista de curvas]]
*[[Toro (geometría)]]
*[[Lemniscata]]
*[[Óvalo de Cassini]]
*[[Spira de Perseo]]

==Referencias==
* Lawrence JD. (1972) '' Catálogo de curvas planas especiales '', Dover. Pp.&nbsp;145 & ndash; 146.
* Booth J. '' Un tratado sobre algunos nuevos métodos geométricos '', Longmans, Green, Reader y Dyer, Londres, vol. I (1873) y vol. II (1877).
* {{MathWorld|title=Hippopede|urlname=Hippopede}}
* [http://www.2dcurves.com/quartic/quartich.html "Hippopede" en 2dcurves.com]
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/booth/booth.shtml "Courbes de Booth" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables]

==Enlaces externos==
* [http://curvebank.calstatela.edu/hippope/hippopede.htm "The Hippopede of Proclus" en The National Curve Bank]

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[[Categoría:Curvas algebraicas]]