Ver el código de «Función hipergeométrica»

:''(El término «función hipergeométrica» a veces se refiere a la [[función hipergeométrica generalizada]]. Para otras funciones hipergeométricas, ir a la sección [[#Véase también|Véase también]])''

En [[matemáticas]], la '''función hipergeométrica gaussiana u ordinaria''' <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub> (''a'',''b'';''c'';''z'') es una [[función especial]] representada por la '''[[serie hipergeométrica]]''', que incluye muchas otras funciones como casos [[caso especial|especiales]] o [[caso límite (matemáticas)|límite]]. Es una solución de una [[ecuación diferencial ordinaria]] (EDO) [[función lineal|lineal]] de segundo orden. Cada EDO lineal de segundo orden con tres [[punto singular regular|puntos singulares regulares]] puede transformarse en esta ecuación.

Para obtener listas sistemáticas de algunos de los muchos miles de [[Identidad (matemática)|identidades]] publicadas que involucran la función hipergeométrica, consúltense los trabajos de referencia de {{harvtxt|Erdélyi|Magnus|Oberhettinger|Tricomi|1953}} y {{harvtxt|Olde Daalhuis|2010}}. No hay un sistema conocido para organizar todas las identidades; de hecho, no se dispone de un algoritmo que pueda generar todas las identidades; aunque existen varios algoritmos diferentes que generan distintas series de identidades. La teoría del descubrimiento algorítmico de identidades sigue siendo un tema de investigación activo.

==Historia==
El término ''serie hipergeométrica'' fue utilizado por primera vez por [[John Wallis]] en su libro de 1655 ''Arithmetica Infinitorum''.

Las series hipergeométricas fueron estudiadas por [[Leonhard Euler]], pero «el primer tratamiento sistemático completo» fue proporcionado por {{harvtxt|Carl Friedrich Gauss|1813}}.

Los estudios en el siglo XIX incluyeron los de {{harvtxt|Ernst Kummer|1836}}, así como la caracterización fundamental de la función hipergeométrica por medio de la ecuación diferencial que satisface, elaborada por {{harvtxt|Bernhard Riemann|1857}}.

Riemann demostró que la ecuación diferencial de segundo orden para <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub> (''z''), examinada en el plano complejo, podría caracterizarse (en la [[esfera de Riemann]]) por sus tres [[singularidad regular|singularidades regulares]].

Los casos donde las soluciones son [[función algebraica]]s fueron encontrados por [[Hermann Amandus Schwarz]] ([[lista de Schwarz]]).

==La serie hipergeométrica==
La función hipergeométrica está definida para {{math|{{!}}''z''{{!}} < 1}} por la [[serie de potencias]]

: <math>{}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!}.</math>

No está definida (o tiende a infinito) si ''c'' es igual a un entero no positivo. Aquí (''q'') <sub>''n''</sub> es el [[factorial ascendente|símbolo de Pochhammer]] (ascendente), que se define por:

: <math>(q)_n = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ q(q+1) \cdots (q+n-1) & n > 0 \end{cases}</math>

La serie tiene un número finito de términos si ''a'' o ''b'' es un entero no positivo, en cuyo caso la función se reduce a un polinomio:

: <math>{}_2F_1(-m,b;c;z) = \sum_{n=0}^m (-1)^n \binom{m}{n} \frac{(b)_n}{(c)_n} z^n.</math>

Para argumentos complejos ''z'' con |''z''|&nbsp;≥&nbsp;1 puede ser [[Extensión analítica|analíticamente extendida]] en cualquier ruta en el plano complejo que evite los puntos de bifurcación 1 e infinito.

Como {{math|''c'' → −''m''}}, donde {{mvar|m}} es un entero no negativo, {{math|<sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>(''z'') → ∞}}, pero si se divide por [[Función gamma|{{math|Γ(''c'')}}]], se obtiene el límite:

: <math>\lim_{c\to -m}\frac{{}_2F_1(a,b;c;z)}{\Gamma(c)}=\frac{(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}z^{m+1}{}_2F_1(a+m+1,b+m+1;m+2;z)</math>

{{math|<sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>(''z'')}} es el tipo más habitual entre las [[series hipergeométricas generalizadas]] {{math|''<sub>p</sub>F<sub>q</sub>''}}, y a menudo se designa simplemente como {{math|''F''(''z'')}}.

==Fórmulas de diferenciación==
Usando la identidad <math> (a)_{n+1}=a (a+1)_n</math>, se demuestra fácilmente que

<math>
\frac{d }{dz} \ {}_2F_1(a,b;c;z) = \frac{ab}{c} \ {}_2F_1(a+1,b+1;c+1;z)
</math>

y más generalmente,

<math>
\frac{d^n }{dz^n} \ {}_2F_1(a,b;c;z) = \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \ {}_2F_1(a+n,b+n;c+n;z)
</math>

En el caso especial de que <math>c = a + 1</math>, se tiene que

<math>
\frac{d }{dz} \ {}_2F_1(a,b;a+1;z) = \frac{d }{dz} \ {}_2F_1(b,a;a+1;z) = \frac{a((1-z)^{-b} - {}_2F_1(a,b;1+a;z))}{z}
</math>

==Casos especiales==
Muchas de las funciones matemáticas comunes se pueden expresar en términos de la función hipergeométrica o como casos limitantes de la misma. Algunos ejemplos típicos son

: <math>\ln(1+z) = z\ _2F_1(1,1;2;-z) </math>
: <math> (1-z)^{-a} = \ _2F_1(a,1;1;z) </math>
: <math>\arcsin(z) = z \ _2F_1\bigl(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; \tfrac{3}{2};z^2\bigr) </math>

La [[función hipergeométrica confluente]] (también llamada función de Kummer) se puede dar como un límite de la función hipergeométrica

: <math>M(a,c,z) = \lim_{b\to \infty}{}_2F_1(a,b;c;b^{-1}z)</math>

por lo que todas las funciones que son esencialmente casos especiales de ella, como la [[función de Bessel]], pueden expresarse como límites de funciones hipergeométricas. Estos casos incluyen la mayoría de las funciones comúnmente utilizadas en la física matemática.

Las [[función de Legendre|funciones de Legendre]] son soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden con 3 puntos singulares regulares, por lo que se pueden expresar en términos de la función hipergeométrica de muchas maneras, por ejemplo

: <math>{}_2F_1(a,1-a;c;z) = \Gamma(c)z^{\tfrac{1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac{c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)</math>

Varios polinomios ortogonales, incluyendo los [[polinomios de Jacobi]] ''P''{{su|p=(α,β)|b=''n''}} y sus casos especiales (los [[polinomios de Legendre]], los [[polinomios de Chebyshov]] y los [[polinomios de Gegenbauer]]) se pueden escribir en términos de funciones hipergeométricas usando

: <math>{}_2F_1(-n,\alpha+1+\beta+n;\alpha+1;x) = \frac{n!}{(\alpha+1)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(1-2x)</math>

Otros polinomios que son casos especiales incluyen los [[polinomios de Krawtchouk]], los [[polinomios de Meixner]] y los [[polinomios de Meixner-Pollaczek]].

Los [[j-invariante]]s a veces se pueden expresar como las funciones inversas de relaciones de funciones hipergeométricas cuyos argumentos ''a'', ''b'', ''c'' son 1, 1/2, 1/3, …, o 0. Por ejemplo, si

: <math> \tau = {\rm{i}}\frac{{}_2F_1 \bigl( \frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-z \bigr)}{{}_2F_1 \bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z \bigr)}</math>

entonces

: <math> z = \kappa^2(\tau) = \frac{\theta_2(\tau)^4}{\theta_3(\tau)^4}</math>

es una función modular elíptica de τ.

Las [[Función beta|funciones beta]] ''B''<sub>''x''</sub> (''p'', ''q'') están relacionadas por

: <math> B_x(p,q) = \tfrac{x^p}{p}{}_2F_1(p,1-q;p+1;x)</math>

Las [[integral elíptica|integrales elípticas]] ''K'' y ''E'' vienen dadas por

: <math>K(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right)</math>
: <math>E(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right)</math>

==La ecuación diferencial hipergeométrica==
La función hipergeométrica es una solución de la ecuación diferencial hipergeométrica de Euler

: <math>z(1-z)\frac {d^2w}{dz^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {dw}{dz} - ab\,w = 0.</math>

que tiene tres [[punto singular regular|puntos singulares regulares]]: 0,1 y ∞. La generalización de esta ecuación a tres puntos singulares regulares arbitrarios viene dada por la [[ecuación diferencial de Riemann]]. Cualquier ecuación diferencial de segundo orden con tres puntos singulares regulares se puede convertir a la ecuación diferencial hipergeométrica mediante un cambio de variables.

===Soluciones en puntos singulares===
Las soluciones a la ecuación diferencial hipergeométrica se construyen a partir de la [[serie hipergeométrica]] <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub> (''a'', ''b''; ''c''; ''z''). La ecuación tiene dos soluciones [[dependencia e independencia lineal|linealmente independientes]]. En cada uno de los tres puntos singulares 0, 1, ∞, hay generalmente dos soluciones especiales de la forma ''x''<sup>''s''</sup> veces una función holomórfica de ''x'', donde ''s'' es una de las dos raíces de la ecuación indicada y ''x'' es una variable local que se desvanece en el punto singular regular. Esto proporciona 3&nbsp;×&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;6 soluciones especiales, de la siguiente manera.

Alrededor del punto ''z''&nbsp;=&nbsp;0, dos soluciones son independientes si ''c'' no es un entero no positivo,

: <math> \, _2F_1(a,b;c;z)</math>

y, a condición de que ''c'' no sea un número entero,

: <math> z^{1-c} \, _2F_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z)</math>

Si ''c'' es un entero no positivo 1-''m'', entonces la primera de estas soluciones no existe y debe ser reemplazada por <math>z^mF(a+m,b+m;1+m;z).</math>. La segunda solución no existe cuando ''c'' es un número entero mayor que 1, y es igual a la primera solución, o su reemplazo, cuando ''c'' es cualquier otro entero. Entonces, cuando ''c'' es un número entero, se debe usar una expresión más complicada para una segunda solución, igual a la primera solución multiplicada por ln (''z''), más otra serie en potencias de ''z'' , involucrando a la [[función digamma]] (véase {{harvtxt|Olde Daalhuis|2010}} para más detalles).

Alrededor de ''z''&nbsp;=&nbsp;1, si ''c''&nbsp;-&nbsp;''a''& nbsp;-&nbsp;''b'' no es un número entero, se tienen dos soluciones independientes

: <math>\, _2F_1(a,b;1+a+b-c;1-z)</math>

y

: <math> (1-z)^{c-a-b} \;_2F_1(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)</math>

Alrededor de ''z''&nbsp;=&nbsp;∞, si ''a''&nbsp;-&nbsp;''b'' no es un número entero, entonces se tienen dos soluciones independientes

: <math> z^{-a}\, _2F_1 \left (a,1+a-c;1+a-b; z^{-1} \right)</math>

y

: <math> z^{-b}\, _2F_1 \left (b,1+b-c;1+b-a; z^{-1} \right ).</math>

Nuevamente, cuando las condiciones de no integralidad no se cumplen, existen otras soluciones que son más complicadas.

Cualquiera trío de las 6 soluciones anteriores satisface una relación lineal, ya que el espacio de soluciones es bidimensional, dando ({{su|p=6|b=3}})=&nbsp;20 relaciones lineales entre ellas llamadas '''fórmulas de conexión'''.

===Las 24 soluciones de Kummer=== 
Una [[ecuación fuchsiana]] de segundo orden con ''n'' puntos singulares tiene un grupo de simetrías que actúan (proyectivamente) en sus soluciones, isomorfo al [[grupo de Coxeter]] ''D''<sub>''n''</sub> del orden ''n''! 2<sup>''n''−1</sup>. Para la ecuación hipergeométrica ''n'' = 3, por lo que el grupo es de orden 24 y es isomorfo para el grupo simétrico en 4 puntos, y fue descrito por primera vez por [[Ernst Kummer|Kummer]]. El isomorfismo con el grupo simétrico es accidental y no tiene análogos para más de 3 puntos singulares, y a veces es mejor pensar en el grupo como una extensión del grupo simétrico en 3 puntos (actuando como permutaciones de los 3 puntos singulares) por un [[grupo de Klein]] (cuyos elementos cambian los signos de las diferencias de los exponentes en un número par de puntos singulares). El grupo de Kummer de 24 transformaciones es generado por las tres transformaciones que toman una solución ''F''(''a'', ''b''; ''c''; ''z'') a una de

: <math>(1-z)^{-a} F \left (a,c-b;c; \tfrac{z}{z-1} \right )</math>
: <math>F(a,b;1+a+b-c;1-z)</math>
: <math>(1-z)^{-b} F \left(c-a,b;c; \tfrac{z}{z-1} \right )</math>

que corresponden a las transposiciones (12), (23) y (34) bajo un isomorfismo con el grupo simétrico en 4 puntos 1, 2, 3, 4. (El primero y el tercero de estos son en realidad iguales a ''F''(''a'',''b'';''c'';''z'') mientras que el segundo es una solución independiente a la ecuación diferencial).

Aplicando las transformaciones de 24 = 6 × 4 de Kummer a la función hipergeométrica da las soluciones 6 = 2 × 3 superiores correspondientes a cada uno de los 2 posibles exponentes en cada uno de los 3 puntos singulares, cada uno de los cuales aparece 4 veces debido a las identidades

: <math>{}_2F_1(a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b} \, {}_2F_1(c-a,c-b;c;z) \ \ \ \text{Transformación de Euler} </math>
: <math>{}_2F_1(a,b;c;z) =(1-z)^{-a} \, {}_2F_1(a,c-b;c; \tfrac{z}{z-1})\ \ \ \text{Transformación de Pfaff} </math>
: <math>{}_2F_1(a,b;c;z) =(1-z)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \tfrac{z}{z-1})\ \ \ \text{Transformación de Pfaff} </math>

===Forma Q===
La ecuación diferencial hipergeométrica puede introducirse en la forma Q

: <math>\frac{d^2u}{dz^2}+Q(z)u(z) = 0</math>

haciendo la sustitución ''w'' = ''uv'' y eliminando el término de la primera derivada. Se encuentra que

: <math>Q=\frac{z^2[1-(a-b)^2] +z[2c(a+b-1)-4ab] +c(2-c)}{4z^2(1-z)^2}</math>

y ''v'' está dada por la solución a

: <math>\frac{d}{dz}\log v(z) = - \frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)} =-\frac{c}{2z}-\frac{1+a+b-c}{2(z-1)}</math>

que es

: <math>v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.</math>

La forma Q es significativa en su relación con la [[derivación Schwarziana]] {{harv|Hille|1976|pp=307–401}}.

===Mapas en triángulo de Schwarz===
{{VT|Función triángulo de Schwarz}}

Las ''aplicaciones de triángulos de Schwarz'' o las ''funciones'' de Schwarz son proporciones de pares de soluciones.

: <math>s_k(z) = \frac{\phi_k^{(1)}(z)}{\phi_k^{(0)}(z)}</math>

donde ''k'' es uno de los puntos 0, 1, ∞. La notación

: <math>D_k(\lambda,\mu,\nu;z)=s_k(z)</math>

también se usa a veces. Téngase en cuenta que los coeficientes de conexión se convierten en [[Transformación de Möbius|transformaciones de Möbius]] en las aplicaciones de triángulos.

Téngase en cuenta que cada aplicación triangular es [[punto singular regular|regular]] en ''z'' ∈ {0, 1, ∞} respectivamente, con

: <math>s_0(z)=z^\lambda (1+\mathcal{O}(z))</math>
: <math>s_1(z)=(1-z)^\mu (1+\mathcal{O}(1-z))</math>
y
: <math>s_\infty(z)=z^\nu (1+\mathcal{O}(\tfrac{1}{z})).</math>

En el caso especial de que λ, μ y ν son reales, con 0&nbsp;&le;&nbsp;λ, μ, ν&nbsp;&lt;&nbsp;1, lss s-aplicaciones son [[transformación conforme|transformaciones conformes]] del [[semiplano superior] '''H''' con triángulos en una [[esfera de Riemann]], delimitado por arcos circulares. Esta aplicación es una generalización de la [[Mapeado Schwarz-Christoffel|aplicación Schwarz-Christoffel]] a triángulos con arcos circulares. Los puntos singulares 0,1 y ∞ se envían a los vértices del triángulo. Los ángulos del triángulo son πλ, πμ y πν respectivamente.

Además, en el caso de λ = 1/''p'', μ = 1/''q'' y ν = 1/''r'' para los enteros ''p'', ''q'', ''r'', entonces el triángulo recubre la esfera, el plano complejo o el semiplano superior según si λ + μ + ν - 1 es positivo, cero o negativo; y las s-aplicaciones son funciones inversas de la [[función automórfica]] para el [[grupo triangular]] &#x3008; ''p'',&nbsp;''q'',&nbsp;''r''&#x3009;&nbsp;=&nbsp;Δ (''p'',&nbsp;''q'',&nbsp;''r'').

===Grupo monodrómico===
La monodromía de una ecuación hipergeométrica describe cómo las soluciones fundamentales cambian cuando se continúa analíticamente alrededor de las rutas en el plano ''z'' que regresan al mismo punto.
Es decir, cuando la ruta rodea una singularidad de <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>, el valor de las soluciones en el punto final diferirá del punto de inicio.

Dos soluciones fundamentales de la ecuación hipergeométrica se relacionan entre sí mediante una transformación lineal; por lo tanto, la monodromía es una aplicación (homomorfismo de grupo):

: <math>\pi_1(\mathbf{C}\setminus\{0,1\},z_0) \to \text{GL}(2,\mathbf{C})</math>

donde π<sub>1</sub> es el [[grupo fundamental]]. En otras palabras, la monodromía es una representación lineal bidimensional del grupo fundamental. La [[monodromía]] de la ecuación es la imagen de esta aplicación, es decir, el grupo generado por las matrices de monodromía. La representación monodrómica del grupo fundamental se puede calcular explícitamente en términos de los exponentes en los puntos singulares.<ref>{{harvnb|Ince|1944|pages=393–393}}</ref> Si (α, α'), (β, β') y (γ, γ') son los exponentes en 0, 1 e ∞, entonces, tomando ''z''<sub>0</sub> cerca de 0, los bucles alrededor de 0 y 1 tienen matrices de monodromía

: <math>g_0=\begin{pmatrix} e^{2\pi i\alpha} & 0\\ 0 & e^{2\pi i\alpha^\prime}\end{pmatrix}\,\,\,</math> y <math>\,\,\,g_1=\begin{pmatrix} {\mu e^{2\pi i \beta} 
-e^{2\pi i\beta^\prime}\over \mu -1} & {\mu (e^{2\pi i \beta} 
-e^{2\pi i\beta^\prime)}\over (\mu -1)^2}\\e^{2\pi i\beta^\prime} - e^{2\pi i\beta} & {\mu e^{2\pi i \beta^\prime} 
-e^{2\pi i\beta}\over \mu -1}\end{pmatrix},</math>

donde

: <math>\mu = {\sin \pi(\alpha +\beta^\prime +\gamma^\prime) \sin \pi(\alpha^\prime + \beta+\gamma^\prime)\over \sin \pi(\alpha^\prime + \beta^\prime +\gamma^\prime) \sin \pi(\alpha + \beta +\gamma^\prime)}.</math>

Si 1-''a'', ''c''-''a''-''b'', ''a''-''b'' son números racionales no enteros con denominadores ''k'', ''l'', ''m''; entonces el grupo monodrómico es finito si y solo si <math>1/k + 1/l + 1/m > 1</math> (véase [[lista de Schwarz]] o [[teoría de Picard–Vessiot|algoritmo de Kovacic]]).

==Fórmulas integrales==

===Tipo de Euler===
Si ''B'' es la [[función beta]], entonces

: <math>\Beta(b,c-b)\,_2F_1(a,b;c;z) = \int_0^1 x^{b-1} (1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a} \, dx \qquad \real(c) > \real(b) > 0, </math>

siempre que ''z'' no sea un número real tal que sea mayor o igual que 1, y que pueda demostrarse expandiendo (1&nbsp;-&nbsp;''zx'')<sup>−''a''</sup> usando el teorema binomial y luego integrando término por término para ''z'' con valor absoluto menor que 1, y por continuación analítica en otro lugar. Cuando ''z'' es un número real mayor que o igual a 1, se debe utilizar la continuación analítica porque (1&nbsp;-&nbsp;''zx'') es cero en algún punto del soporte de la integral, por lo que su valor puede estar mal definido. Esto fue demostrado por Euler en 1748 e implica las transformaciones hipergeométricas de Euler y Pfaff.

Otras representaciones, correspondientes a otras [[rama principal|ramas]], se dan tomando el mismo integrando, pero siguiendo la ruta de integración como un [[ciclo de Pochhammer]] cerrado que encierra las singularidades en varios órdenes. Tales rutas corresponden a la acción de [[monodromía]].

===Integral de Barnes===
Barnes usó la teoría de [[Residuo (análisis complejo)|residuos]] para evaluar la [[integral de Barnes]]

: <math>\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)} (-z)^s \, ds</math>

como

: <math>\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(c)}\,_2F_1(a,b;c;z),</math>

donde se dibuja el contorno para separar los polos 0, 1, 2, …, de los polos -''a'', -''a''&nbsp;-&nbsp;1,&nbsp; …, -''b'', -''b''&nbsp;-&nbsp;1,&nbsp; … &nbsp;. Esto es válido siempre que ''z'' no sea un número real no negativo.

===Transformada de John===
La función hipergeométrica de Gauss se puede escribir como la [[transformada de John]]{{harv|Gelfand|Gindikin|Graev|2003|loc=2.1.2}}.

==Relaciones contiguas de Gauss==
Las seis funciones

: <math>{}_2F_1 (a\pm 1,b;c;z), \quad {}_2F_1 (a,b\pm 1;c;z), \quad {}_2F_1 (a,b;c\pm 1;z)</math>

se llaman contiguas a {{math|<sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>(''a'', ''b''; ''c''; ''z'')}}. Gauss demostró que {{math|<sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>(''a'', ''b''; ''c''; ''z'')}} se puede escribir como una combinación lineal de dos de sus funciones contiguas, con coeficientes racionales en términos de {{math|''a'', ''b'', ''c''}} y {{mvar|z}}. Esto da

: <math> \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = 15</math>

relaciones, dadas al identificar dos líneas en el lado derecho de

: <math>\begin{align}
z\frac{dF}{dz} &= z\frac{ab}{c}F(a+,b+,c+) \\
&=a(F(a+)-F) \\
&=b(F(b+)-F) \\
&=(c-1)(F(c-)-F) \\
&=\frac{(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z} \\
&=\frac{(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z} \\
&=z\frac{(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}
\end{align}</math>

donde {{math|''F'' {{=}} <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>(''a'', ''b''; ''c''; ''z''), ''F''(''a''+) {{=}} <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>(''a'' + 1, ''b''; ''c''; ''z'')}}, y así sucesivamente. La aplicación repetida de estas relaciones proporciona una relación lineal con respecto a {{math|'''C'''(z)}} entre tres funciones de la forma

: <math>{}_2F_1 (a+m,b+n;c+l;z),</math>

donde ''m'', ''n'', y ''l'' son enteros.

===Fracción continua de Gauss===
{{AP|Fracción continua de Gauss}}

Gauss usó las relaciones contiguas para dar varias formas de escribir un cociente de dos funciones hipergeométricas como una fracción continua, por ejemplo:

: <math>\frac{{}_2F_1(a+1,b;c+1;z)}{{}_2F_1(a,b;c;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{(a-c)b}{c(c+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)} z}{1 + {}\ddots}}}}}</math>

==Fórmulas de transformación==
Las fórmulas de transformación relacionan dos funciones hipergeométricas en diferentes valores del argumento ''z''.

===Transformaciones lineales fraccionadas===
La transformación de Euler es
: <math>{}_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b} {}_2F_1 (c-a, c-b;c ; z).</math>
Se deduce al combinar las dos transformaciones de Pfaff
: <math>{}_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} {}_2F_1 \left (b,c-a;c;\tfrac{z}{z-1} \right )</math>
: <math>{}_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-a} {}_2F_1 \left (a, c-b;c ; \tfrac{z}{z-1} \right )</math>
que a su vez se siguen de la representación integral de Euler. Para la extensión de las primeras y segundas transformaciones de Euler, véase {{harvtxt|Rathie|Paris|2007}} y {{harvtxt|Rakha|Rathie|2011}}.

===Transformaciones cuadráticas===
Si dos de los números 1&nbsp;-&nbsp;''c'', ''c''&nbsp;-&nbsp;1, ''a''&nbsp;-&nbsp;''b'', ''b''&nbsp;-&nbsp;''a'', ''a''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;-&nbsp;''c'', ''c''&nbsp;-&nbsp;''a''&nbsp;-&nbsp;''b'' son iguales o uno de ellos es 1/2, entonces existe una '''transformación cuadrática''' de la función hipergeométrica, que la conecta a un valor diferente de ''z'' relacionado por una ecuación cuadrática. Los primeros ejemplos fueron dados por {{harvtxt|Kummer|1836}}, y {{harvtxt|Goursat|1881}} dio una lista completa. Un ejemplo típico es

: <math>{}_2F_1(a,b;2b;z) = (1-z)^{-\frac{a}{2}} {}_2F_1 \left (\tfrac{1}{2}a, b-\tfrac{1}{2}a; b+\tfrac{1}{2}; \frac{z^2}{4z-4} \right)</math>

===Transformaciones de orden superior===
Si 1-''c'', ''a''-''b'', ''a''+''b''-''c'' se diferencian por signos o dos de ellos son 1/3 o -1/3, entonces hay una '''transformación cúbica''' de la función hipergeométrica, conectándola a un valor diferente de ''z'' relacionado por una ecuación cúbica. Los primeros ejemplos fueron dados por {{harvtxt|Goursat|1881}}. Un ejemplo típico es

: <math>{}_2F_1 \left (\tfrac{3}{2}a,\tfrac{1}{2}(3a-1);a+\tfrac{1}{2};-\tfrac{z^2}{3} \right) = (1+z)^{1-3a} \, {}_2F_1 \left (a-\tfrac{1}{3}, a; 2a; 2z(3+z^2)(1+z)^{-3} \right )</math>

También hay algunas transformaciones de los grados 4 y 6. Las transformaciones de otros grados solo existen si ''a'', ''b'' y ''c'' son ciertos números racionales {{harv|Vidunas|2005}}. Por ejemplo,
: <math>{}_2F_1 \left (\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{8};\tfrac{7}{8}; z \right) (z^4-60z^3+134z^2-60z+1)^{1/16} =
 {}_2F_1 \left (\tfrac{1}{48}, \tfrac{17}{48}; \tfrac{7}{8}; \tfrac{-432 z (z-1)^2 (z+1)^8}{(z^4-60z^3+134z^2-60z+1)^3} \right ).</math>

==Valores en puntos especiales '' z ''==
Consúltese {{harvtxt|Slater|1966|loc=Appendix III}} para obtener una lista de fórmulas de suma en puntos especiales, la mayoría de los cuales también aparecen en {{harvtxt|Bailey|1935}}. {{harvtxt|Gessel|Stanton|1982}} proporciona más evaluaciones en más puntos. {{harvtxt|Koepf|1995}} muestra cómo la mayoría de estas identidades pueden ser verificadas por algoritmos de computadora.

===Valores especiales en ''z''&nbsp;{{=}}&nbsp;1===
El teorema de Gauss, llamado así por [[Carl Friedrich Gauss]], es la identidad

: <math>{}_2F_1 (a,b;c;1)= \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}, \qquad \Re(c)>\Re(a+b) </math>

===Otros puntos===
Hay muchas otras fórmulas que dan la función hipergeométrica como un número algebraico con valores racionales especiales de los parámetros, algunos de los cuales se enumeran en {{harvtxt|Gessel|Stanton|1982}} y {{harvtxt|Koepf|1995}}. Algunos ejemplos típicos vienen dados por

: <math>{}_2F_1 \left(a,-a;\tfrac{1}{2};\tfrac{x^2}{4(x-1)} \right ) = \frac{(1-x)^a+(1-x)^{-a}}{2},</math>

que puede ser reformulado como

: <math>T_a(\cos x)={}_2F_1\left(a,-a;\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2}(1-\cos x)\right)=\cos(a x)</math>

siempre que -π < ''x'' < π y ''T'' sean los [[polinomios de Chebyshov]] (generalizados).

==Véase también==
* [[Series de Appell]], una generalización de 2 variables de series hipergeométricas
* [[Series hipergeométricas básicas]], donde la relación de términos es una función periódica del índice
* [[Series hipergeométricas bilaterales]] <sub>''p''</sub>H<sub>''p''</sub> son similares a series hipergeométricas generalizadas, pero se suman en todos los enteros
* [[Series binomiales]] <sub>1</sub>F<sub>0</sub>
* [[Series hipergeométricas confluentes]] <sub>1</sub>F<sub>1</sub> (''a''; ''c''; ''z'')
* [[Series hipergeométricas elípticas]], donde la relación de términos es una función elíptica del índice
* [[Integral hipergeométrica de Euler]], una representación integral de <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>
* [[Función H de Fox]], una extensión de la función G de Meijer
* [[Función de Fox–Wright]], una generalización de la [[función hipergeométrica generalizada]]
* [[Solución de Frobenius de la ecuación hipergeométrica]]
* [[Función hipergeométrica general]], introducida por [[Izrail Guelfand|I. M. Gelfand]]
* [[Series hipergeométricas generalizadas]] <sub>''p''</sub>F<sub>''q''</sub> donde la relación de términos es una función racional del índice
* [[Serie geométrica]], donde la relación de términos es una constante
* [[Función de Heun]], soluciones de ODE de segundo orden con cuatro puntos singulares regulares
* [[Función de Horn]], 34 series hipergeométricas convergentes distintas en dos variables
* [[Series de Humbert]] 7 funciones hipergeométricas de 2 variables
* [[Ecuación diferencial hipergeométrica]], una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden
* [[Distribución hipergeométrica]], una distribución de probabilidad discreta
* [[Función hipergeométrica de argumento matricial]], la generalización multivariante de la serie hipergeométrica
* [[Función de Kampé de Fériet]], serie hipergeométrica de dos variables
* [[Series hipergeométricas de Lauricella]], serie hipergeométrica de tres variables
* [[Función E de MacRobert]], una extensión de la serie hipergeométrica generalizada <sub>''p''</sub>F<sub>''q''</sub> para el caso ''p''> ''q''+1.
* [[Función G de Meijer]], una extensión de la serie hipergeométrica generalizada <sub>''p''</sub>F<sub>''q''</sub> para el caso ''p''> ''q''+1.
* [[Series hipergeométricas modulares]], una forma de terminación de la serie hipergeométrica elíptica
* [[Series hipergeométricas theta]], un tipo especial de serie hipergeométrica elíptica

==Referencias==
{{Listaref}}
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* {{cite book | last=Bailey | first=W.N. | year=1935 | title=Generalized Hypergeometric Series | publisher=Cambridge University Press | url=http://plouffe.fr/simon/math/Bailey%20W.N.%20Generalized%20Hypergeometric%20Series%20%281964%29%28L%29%28T%29%2859s%29.pdf | ref=harv | fechaacceso=27 de septiembre de 2018 | urlarchivo=https://web.archive.org/web/20170624164738/http://plouffe.fr/simon/math/Bailey%20W.N.%20Generalized%20Hypergeometric%20Series%20(1964)(L)(T)(59s).pdf# | fechaarchivo=24 de junio de 2017 }}
* [[Frits Beukers|Beukers, Frits]] (2002), '' [http://www.math.uu.nl/people/beukers/MRIcourse93.ps Gauss 'función hipergeométrica]' '. (notas de la conferencia repasando conceptos básicos, así como mapas de triángulos y monodromía)
* {{dlmf | first= Adri B. | last= Olde Daalhuis | id= 15}}
* {{cite book | last1= Erdélyi | first1= Arthur | author1-link= Arthur Erdélyi | last2= Magnus | first2= Wilhelm | author2-link= Wilhelm Magnus | last3= Oberhettinger | first3= Fritz | lastauthoramp= yes | last4= Tricomi | first4= Francesco G. | title= Higher transcendental functions | volume= Vol. I | location= New York – Toronto – London | publisher= McGraw–Hill Book Company, Inc. | year= 1953 | isbn= 978-0-89874-206-0 | mr= 0058756 | url= http://apps.nrbook.com/bateman/Vol1.pdf | ref= harv }}
* Gasper, George y [[Mizan Rahman|Rahman, Mizan]] (2004). Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. {{ISBN|0-521-83357-4}}.
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* {{cite book | last=Hille | first=Einar | year=1976 | title=Ordinary differential equations in the complex domain | publisher=Dover | ISBN=0-486-69620-0 | ref=harv}}
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* {{cite book | last= Klein | first= Felix | title= Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion | language= alemán | url= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN375394591 | location= Berlin, New York | publisher= Springer-Verlag | year= 1981 | series= Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | volume= 39 | isbn= 978-3-540-10455-1 | mr= 668700 | ref= harv}}
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* {{cite journal | last= Kummer | first= Ernst Eduard | title= Über die hypergeometrische Reihe&nbsp;<math> 1 + \tfrac {\alpha\cdot \beta} {1 \cdot \gamma} ~x + \tfrac {\alpha (\alpha+1) \beta (\beta+1)} {1 \cdot 2 \cdot \gamma (\gamma+1)} x^2 + \tfrac {\alpha (\alpha+1)(\alpha+2) \beta (\beta+1)(\beta+2)} {1 \cdot 2\cdot 3 \cdot \gamma (\gamma+1)(\gamma+2)} x^3 +\mbox{etc.} </math> | language= alemán | url= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00214056X | journal= [[Crelle (revista)]] | year= 1836 | volume= 15 | pages= 39–83, 127–172 | issn= 0075-4102 | ref= harv}}
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* {{cite journal | last1=Rakha | first1=M.A. | last2=Rathie | first2=Arjun K. | year=2011 | title=Extensions of Euler's type-II transformation and Saalschutz's theorem | journal= Bull. Korean Math. Soc. | volume=48 | issue=1 | pages=151–156 | ref=harv}}
* {{cite journal | last1=Rathie | first1= Arjun K. | last2= Paris | first2=R.B. | year=2007 |title= An extension of the Euler's-type transformation for the 3F2 series | journal= Far East J. Math. Sci. | volume=27 | issue=1 | pages=43–48 | ref=harv}}
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* {{cite book | last= Slater | first= Lucy Joan | authorlink= Lucy Joan Slater | title= Confluent hypergeometric functions | location= Cambridge, UK | publisher= Cambridge University Press | year= 1960 | mr= 0107026 | ref= harv}}
* {{cite book | last= Slater | first= Lucy Joan | title= Generalized hypergeometric functions | location= Cambridge, UK | publisher= Cambridge University Press | year= 1966 | isbn= 0-521-06483-X | mr= 0201688 | ref= harv}} (hay un libro en rústica de 2008 con {{ISBN|978-0-521-09061-2}})
* {{cite journal | last= Vidunas | first = Raimundas | title = Transformations of some Gauss hypergeometric functions | year = 2005 | journal = Journal of Symbolic Computation | volume = 178 | pages = 473–487 | doi=10.1016/j.cam.2004.09.053 | ref=harv}}
* {{cite book | last= Wall | first= H.S. | title= Analytic Theory of Continued Fractions | publisher= D. Van Nostrand Company, Inc. | year= 1948 | ref= harv}}
* {{cite book | last1= Whittaker | first1= E.T. | last2= Watson | first2= G.N. | lastauthoramp= yes | title= A Course of Modern Analysis | location= Cambridge, UK | publisher= Cambridge University Press | year= 1927 | ref= harv}}
* {{cite book | last= Yoshida | first= Masaaki | title= Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces | location= Braunschweig – Wiesbaden | publisher= Friedr. Vieweg & Sohn | year= 1997 | isbn= 3-528-06925-2 | mr= 1453580 | ref= harv}}

==Enlaces externos==
* {{springer|title=Hypergeometric function|id=p/h048450}}
* John Pearson, [http://people.maths.ox.ac.uk/porterm/research/pearson_final.pdf Computación de funciones hipergeométricas] ([[Universidad de Oxford]], MSc Thesis)
* Marko Petkovsek, Herbert Wilf y Doron Zeilberger, [https://web.archive.org/web/20060129095451/http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html El libro ''A = B'' ] (descargable libremente)
* {{MathWorld |title=Hypergeometric Function |urlname= HypergeometricFunction}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Ecuaciones diferenciales ordinarias]]
[[Categoría:Series matemáticas]]