Ver el código de «Espacio vectorial»

:''Este artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase [[Vector]]''
[[Archivo:Vector space illust.svg|thumb|Representación artística de un espacio vectorial.]]
En [[álgebra abstracta]], un '''espacio vectorial''' es una [[estructura algebraica]] creada a partir de un [[dominio de definición|conjunto no vacío]], una [[operación interna]] (llamada ''suma'', definida para los elementos del conjunto) y una [[operación externa]] (llamada ''producto por un escalar'', definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de  [[Cuerpo (matemática)|cuerpo]]), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama [[Vector (espacio euclídeo)|vectores]] y a los elementos del cuerpo, [[Escalar (matemática)|escalares]].

== Historia ==
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: [[geometría analítica]], [[matriz (matemática)|matrices]] y [[sistemas de ecuaciones lineales]]. 

Los espacios vectoriales se derivan de la [[geometría afín]] a través de la introducción de [[coordenada]]s en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses [[Descartes]] y [[Fermat]] fundaron las bases de la [[geometría analítica]] mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una [[curva]] plana.<ref group="nota">{{cita Harvard|sp=sí|Bourbaki|1969|nb=yes|loc = ch. "Álgabre linéaire et álgebre multilinéaire", pp. 78–91}}.</ref> Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, [[Bernhard Bolzano]] introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.<ref group="nota">{{cita Harvard|sp=sí|Bolzano|1804|nb = yes}}.</ref> Este trabajo hizo uso del concepto de [[Coordenadas baricéntricas (n-simplex)|coordenadas baricéntricas]] de [[August Ferdinand Möbius]] de 1827.<ref group="nota">{{cita Harvard|sp=sí|Möbius|1827|nb = yes}}.</ref> 

La primera formulación moderna y axiomática se debe a [[Giuseppe Peano]], a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del [[análisis funcional]], principalmente de  [[espacios de funciones]]. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la [[convergencia (matemáticas)|convergencia]]. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada [[topología]], permitiendo tener en cuenta cuestiones de [[proximidad]] y [[Función continua|continuidad]]. Estos [[espacio vectorial topológico|espacios vectoriales topológicos]], en particular los [[espacios de Banach]] y los [[espacios de Hilbert]] tienen una teoría más rica y elaborada.

El origen de la definición de los vectores es la definición de [[Giusto Bellavitis]] de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los [[números complejos]] de [[Jean-Robert Argand|Argand]] y [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] y la creación de los [[cuaternión|cuaterniones]] por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).<ref group="nota">{{cita Harvard|sp=sí|Hamilton|1853|nb = yes}}.</ref> Son elementos de '''R'''<sup>2</sup> y '''R'''<sup>4</sup>; el tratamiento mediante [[combinaciones lineales]] se remonta a [[Laguerre]] en 1867, quien también definió los [[sistemas de ecuaciones lineales]].

En 1857, [[Arthur Cayley|Cayley]] introdujo la [[notación matricial]] que permite una armonización y simplificación de las [[aplicaciones lineales]]. Casi al mismo tiempo, [[Grassmann]] estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.<ref group="nota">{{cita Harvard|sp=sí|Grassmann|1844|nb = yes}}.</ref> En su trabajo, los conceptos de [[independencia lineal]] y [[dimensión]], así como de [[producto escalar]] están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman [[álgebra]]s. El matemático italiano [[Giuseppe Peano|Peano]] dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.<ref group="nota">{{cita Harvard|sp=sí|Peano|1888|nb = yes |loc = ch. IX}}.</ref>

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los [[espacios de funciones]] por [[Henri Lebesgue]]. Esto más tarde fue formalizado por [[Stefan Banach|Banach]] en su tesis doctoral de 1920<ref group="nota">{{cita Harvard|sp=sí|Banach|1922|nb = yes}}.</ref> y por [[David Hilbert|Hilbert]]. En este momento, el [[álgebra]] y el nuevo campo del [[análisis funcional]] empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los [[espacios Lp|espacios de funciones p-integrables]] y los [[espacios de Hilbert]]. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la [[ciencia]] y la [[ingeniería]]. Se utilizan en métodos como las [[series de Fourier]], que se utiliza en las rutinas modernas de [[compresión de imágenes]] y sonido, o proporcionan el marco para resolver [[ecuaciones en derivadas parciales]]. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como [[tensor]]es, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de [[Variedad (matemática)|variedades]] mediante técnicas de linealización.

== Notación ==
Dado un espacio vectorial <math> V \;</math> sobre un cuerpo <math> K \;</math>, se distinguen.

Los elementos de <math> V \;</math> como:
: <math>
   \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots \; \in V
</math> se llaman '''vectores'''.

:Caligrafías de otras obras
:: <math>
   \bar{u}, \bar{v}, \bar{w}, \dots \; \in V
</math>

:Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:
:: <math>
   \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \dots \; \in V
</math>

Los elementos de <math> K \;</math> como:
: <math>
   \mathit{a}, \mathit{b}, \mathit{c}, \dots \; \in K
</math> se llaman '''escalares'''.
<!-- si lo piden mucho, habría que ponerle flecha a todo vector -->

== Definición de espacio vectorial ==
Un '''espacio vectorial''' sobre un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] <math> K \;</math> (como el cuerpo de los [[número real|números reales]] o los [[número complejo|números complejos]]) es un [[conjunto]] <math> V \; </math> no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:
: <math> \begin{array}{llccl}
      \mbox{Suma} & +: & {V \times V}              & \longrightarrow{} & {V} \\
                  &    & {(\mathbf{u},\mathbf{v})} & \mapsto           & {\mathbf{w} = \mathbf{u}+\mathbf{v}}
   \end{array}
</math>

operación interna tal que:
: 1) tenga la [[propiedad conmutativa]]:
{{ecuación|
<math> \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}, \qquad
\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V </math>
||left}}
: 2) tenga la [[propiedad asociativa]]:
{{ecuación|
<math>\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}, \qquad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V </math>
||left}}
: 3) exista el [[elemento neutro]]:
:: <math>
   \exists{}\mathbf{e} \in{} V : </math>  <math>
   \mathbf{u} + \mathbf{e} = \mathbf{u} , </math>  <math>
   \forall{} \mathbf{u} \in{} V
</math>

: 4) exista el [[elemento opuesto]]:
:: <math>
   \forall{} \mathbf{u} \in{} V , \quad
   \exists{} \mathbf{-u} \in{} V : </math>  <math>
    \mathbf{u} + (\mathbf{-u}) = \mathbf{e}
</math>

y tenga la operación producto por un escalar:
: <math>
   \begin{array}{llccl}
      \mbox{Producto} & \cdot{}: & {K \times{} V}            & \longrightarrow{} & {V} \\
                      &          & {(\mathit{a},\mathbf{u})} & \mapsto           & {\mathbf{v} = \mathit{a} \cdot \mathbf{u}}
   \end{array}
</math>

operación externa tal que:
: 5) tenga la [[propiedad asociativa]]:
:: <math>
   \mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot \mathbf{u})=(\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} ,</math>  <math>
   \forall{} \mathit{a} ,\mathit{b} \in{}K , </math>  <math>
   \forall{} \mathbf{u} \in{} V
</math>

: 6) exista el elemento neutro:
:<math>
   \exists{\mathbf{e}} \in{K}: </math>  <math>
   \mathbf{e} \cdot \mathbf{u}   = \mathbf{u} , </math>  <math>
   \forall{} \mathbf{u} \in{} V
</math>
:: 

: 7) tenga la [[propiedad distributiva]] respecto de la suma vectorial:
:: <math>
   \mathit{a} \cdot (\mathbf{u}+ \mathbf{v}) =
   \mathit{a} \cdot \mathbf{u}+ \mathit{a} \cdot \mathbf{v} , </math>  <math>
   \forall{} \mathit{a}\in{}K , </math>  <math>
   \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v} \in{} V
</math>

: 8) tenga la [[propiedad distributiva]] respecto de la suma escalar:
:: <math>
   (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} =
   \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{b} \cdot \mathbf{u} , </math>  <math>
   \forall{} \mathit{a}, \mathit{b} \in{} K , </math>  <math>
   \forall{} \mathbf{u} \in{} V
</math>
:

<!-- síntesis de la definición dada en los libros Rudin y Castellet de la bibliografía --> 
{{VT|Espacio euclídeo}}

{{VT|Vector}}

{{VT|Vector#Representación gráfica de vectores|l1=Representación gráfica de vectores}}

=== Observaciones ===
La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza ''multiplicación'' para el ''producto'' y ''adición'' para la ''suma'', usando las distinciones propias de la aritmética.

Para demostrar que un conjunto <math>V_{}^{}</math> es un espacio vectorial:

*Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo <math>\odot(V,V)</math> y <math> \ast(V,K) ,</math> admiten una redefinición del tipo <math>+(V,V)=\odot(V,V)</math> y <math> \cdot(K,V)=\ast(V,K)</math> cumpliendo las 8 condiciones exigidas.

*Si supiésemos que <math>V_{}^{}</math> es un [[grupo conmutativo]] o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados '''1, 2, 3''' y '''4'''.

*Si supiésemos que el producto es una [[Acción (matemática)|acción]] por la izquierda de <math>V_{}^{}</math> tendríamos probados los apartados '''5''' y '''6'''.

*Si no se dice lo contrario:
: <math>
    \mathit{a} \mathbf{v} \neq
    \mathbf{v} \mathit{a}
</math>.

=== Propiedades ===
{{Demostración|título=Unicidad del vector neutro de la propiedad '''3'''|1=
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean <math> \mathbf{0_1} </math> y <math> \mathbf{0_2}</math> dos vectores neutros, entonces:

: <math>
   \left .
      \begin{array}{l}
         \mathbf{u} + \mathbf{0_1} = \mathbf{u} \\
         \mathbf{u} + \mathbf{0_2} = \mathbf{u}
      \end{array}
   \right \}
   \Rightarrow </math> <math>
   \mathbf{u} + \mathbf{0_1} = \mathbf{u} + \mathbf{0_2}
   \Rightarrow </math> <math>
   \mathbf{0_1} = \mathbf{0_2}
   \Rightarrow  </math> <math>
   \exists ! \; \mathbf{0} \in V 
</math>
}}
{{Demostración|título=Unicidad del vector opuesto de la propiedad '''4''' |1=

supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean <math> \mathbf{-u_1}</math> y <math> \mathbf{-u_2}</math> dos vectores opuestos de <math> \mathbf{u}</math>, entonces, como el neutro es único:

:<math>
   \left .
      \begin{array}{l}
         \mathbf{u} - \mathbf{u_1} = \mathbf{0} \\
         \mathbf{u} - \mathbf{u_2} = \mathbf{0}
      \end{array}
   \right \}
   \Rightarrow </math> <math>
   \mathbf{u} - \mathbf{u_1} = \mathbf{u} - \mathbf{u_2}
   \Rightarrow </math> <math>
   - \mathbf{u_1} = - \mathbf{u_2}
   \Rightarrow </math> <math>
   \exists ! - \mathbf{u} \in V
</math>
}}
{{Demostración|título=Unicidad del elemento <math> 1_{}^{}</math> en el cuerpo <math> K_{}^{} </math>|1=

supongamos que 1 no es único, es decir, sean <math> \mathit{1_1} \; </math> y <math> \mathit{1_2} \; </math> dos unidades, entonces:

:<math>
   \left .
      \begin{array}{l}
          \mathit{a} \cdot \mathit{1_1} = \mathit{a} \\
          \mathit{a} \cdot \mathit{1_2} = \mathit{a}
      \end{array}
   \right \}
   \Rightarrow </math> <math>
   \mathit{a} \cdot \mathit{1_1} = \mathit{a} \cdot \mathit{1_2}
   \Rightarrow </math> <math>
   \mathit{1_1} = \mathit{1_2}
   \Rightarrow </math> <math>
   \exists ! \; \mathit{1} \in K
</math>
}}
{{Demostración|título=Unicidad del elemento inverso en el cuerpo <math>K_{}^{}</math>|1=

supongamos que el inverso <math>a_{}^{-1}</math> de a, no es único, es decir, sean <math>a_1^{-1}</math> y <math>a_2^{-1}</math> dos opuestos de <math>a_{}^{}</math>, entonces, como el neutro es único:

:<math>
   \left .
      \begin{array}{l}
         \mathit{a} \cdot \mathit{a_1^{-1}} = \mathit{1} \\
         \mathit{a} \cdot \mathit{a_2^{-1}} = \mathit{1}
      \end{array}
   \right \}
   \Rightarrow </math> <math>
   \mathit{a} \cdot \mathit{a_1^{-1}} = \mathit{a} \cdot \mathit{a_2^{-1}}
   \Rightarrow </math> <math>
   \mathit{a_1^{-1}} = \mathit{a_2^{-1}}
   \Rightarrow </math> <math>
   \exists ! \mathit{a^{-1}} \in K
</math>
}}
{{Demostración|título=Producto de un escalar por el vector neutro|1=

<math>
   \mathit{a} \cdot \mathbf{u} =</math> <math>
   \mathit{a} \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{0})=</math> <math>
   \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{a} \cdot \mathbf{0}
   \Rightarrow </math> <math>
   \mathit{a} \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}
</math>
}}
{{Demostración|título=Producto del escalar 0 por un vector|1=

<math>
   \mathbf{u} = </math> <math>
   \mathit{1} \cdot \mathbf{u} = </math> <math>
   (\mathit{1} + \mathit{0}) \cdot \mathbf{u} = </math> <math>
   \mathit{1} \cdot \mathbf{u} + \mathit{0} \cdot \mathbf{u} = </math> <math>
   \mathbf{u} + \mathit{0} \cdot \mathbf{u}
   \Rightarrow </math> <math>
   \mathit{0} \cdot \mathbf{u} = </math> <math> \mathbf{0}
</math>
}}
Si <math>
   \mathit{a} \cdot \mathbf{u} =
   \mathbf{0}
   \Rightarrow </math> <math>
   \mathit{a} = \mathit{0}
   \quad \lor \quad
   \mathbf{u} =  \mathbf{0}
.</math>

* Si <math>a_{}^{}=0,</math> es cierto.
* Si <math>
   a \neq 0 ,
</math> entonces:
: <math>
   \exists !  \; a^{-1} \in K :</math> <math> a^{-1}a=1 
   \Rightarrow  </math> <math>
   u=</math> <math>1u=</math> <math>(a^{-1}a)u=</math> <math>a^{-1}(au)=</math> <math>a^{-1}0=0
   \Rightarrow </math> <math>
   u_{}^{}=0.
</math>

'''Notación'''

: <math>-au=-(au) \,</math>.

'''Observación'''

: <math> -au=(-a)u=a(-u) \,</math>

:*Si <math> au+a(-u)=a(u-u)=a0=0 \Rightarrow</math> <math> a(-u)=-au \,</math>
:*Si <math> au+(-a)u=(a-a)u=0u=0 \Rightarrow</math> <math> (-a)u=-au \,</math>

=== Primer ejemplo con demostración ===
Se quiere probar que <math>\mathbb{R}^2</math> es un espacio vectorial sobre <math>\mathbb{R}</math>

Si <math>\mathbb{R}^2</math> juega el papel de <math>V \; </math> y <math>\mathbb{R}</math> el de <math> K \;</math>:

Los elementos:
:  <math>
   \mathbf{u} \in V =
   \mathbb{R}^2 =
   \mathbb{R} \times{}\mathbb{R}
</math>

son, de forma genérica:
: <math>
 \mathbf{u} =(u_x,u_y)
</math>

es decir, pares de números reales. Por claridad se conserva la denominación del vector, en este caso '''u''', en sus coordenadas, añadiendo el subíndice '''x''' o '''y''' para denominar su componente en el eje '''x''' o '''y''' respectivamente

En <math> V \; </math> se define la operación suma:
: <math>
   \begin{array}{ccll}
      +: & {V \times{} V}          & \longrightarrow{} & {V} \\
         & (\mathbf{u},\mathbf{v}) & \mapsto           & \mathbf{w}= \mathbf{u} + \mathbf{v}
   \end{array}
</math>

donde:
: <math>
   \mathbf{u} = (u_x, u_y)
</math>
: <math>
   \mathbf{v} = (v_x, v_y)
</math>
: <math>
   \mathbf{w} = (w_x, w_y)
</math>

y la suma de '''u''' y '''v''' sería:
: <math>
   \mathbf{u} +  \mathbf{v} =
   (u_x, u_y) + (v_x, v_y) =
   (u_x + v_x, u_y + v_y) =
   (w_x, w_y) =
   \mathbf{w}
</math>

donde:
: <math>
   \begin{array}{l}
      w_x = u_x + v_x \\
      w_y = u_y + v_y
   \end{array}
</math>

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.

La operación interna suma tiene las propiedades:

1) La propiedad conmutativa, es decir:
: <math>
   \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} , \quad
   \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v} \in{} V
</math>

: <math>
   \mathbf{u} + \mathbf{v} =
   \mathbf{v} + \mathbf{u}
</math>
: <math>
   (u_x, u_y) + (v_x, v_y) =
   \mathbf{v} + \mathbf{u}
</math>
: <math>
   (u_x + v_x, u_y + v_y) =
   \mathbf{v} + \mathbf{u}
</math>
: <math>
   (v_x + u_x, v_y + u_y) =
   \mathbf{v} + \mathbf{u}
</math>
: <math>
   (v_x, v_y) + (u_x, u_y) =
   \mathbf{v} + \mathbf{u}
</math>
: <math>
   \mathbf{v} + \mathbf{u} =
   \mathbf{v} + \mathbf{u}
</math>

2) La propiedad asociativa:
: <math>
   (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}=
   \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})
</math>
: <math>
   \Big( (u_x, u_y) + (v_x, v_y) \Big) + (w_x, w_y) =
   (u_x, u_y) + \Big( (v_x, v_y) + (w_x, w_y) \Big)
</math>
: <math>
   (u_x + v_x, u_y + v_y) + (w_x, w_y)=
   (u_x, u_y) + (v_x + w_x, v_y + w_y) \;
</math>
: <math>
   (u_x + v_x + w_x, u_y + v_y + w_y) =
   (u_x + v_x + w_x, u_y + v_y + w_y) \;
</math>

3) tiene elemento neutro <math> \mathbf{0} </math>:
: <math>
   \mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}
</math>
: <math>
   (u_x, u_y) + (0, 0) =
   (u_x + 0, u_y + 0) =
   (u_x, u_y) \;
</math>

4) tenga elemento opuesto:
: <math>
   \mathbf{u} = (u_x, u_y)
</math>
: <math>
   \mathbf{-u} = (-u_x, -u_y)
</math>

: <math>
   \mathbf{u} + ( \mathbf{-u}) =
   (u_x, u_y) + (-u_x, -u_y) =
   (u_x - u_x, u_y - u_y) =
   (0, 0) = \mathbf{0}
</math>

La operación producto por un escalar:
: <math>
   \begin{array}{ccll}
      \cdot : & K \times V                   & \longrightarrow & V \\
              &  (\mathit{a}, \mathbf{u})    & \mapsto         & \mathbf{v}= \mathit{a} \cdot \mathbf{u}
   \end{array}
</math>

El producto de '''a''' y '''u''' será:
: <math>
   \mathit{a} \cdot \mathbf{u} =
   a \cdot (u_x, u_y) =
   (a \cdot u_x, a \cdot u_y) =
   (v_x, v_y) =
   \mathbf{v}
</math>

donde:
: <math>
   \begin{array}{l}
      v_x = a \cdot u_x \\
      v_y = a \cdot u_y
   \end{array}
</math>

esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aun así está bien definida.

5) tenga la propiedad asociativa:
: <math>
   \mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot \mathbf{u})=(\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} , \quad
   \forall{} \mathit{a} ,\mathit{b} \in{}K , \quad
   \forall{} \mathbf{u} \in{} V
</math>

Esto es:
: <math>
   \mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot \mathbf{u})=
   (\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot \mathbf{u}
</math>
: <math>
   \mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot (u_x, u_y))=
   (\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y)
</math>
: <math>
   \mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot u_x, \mathit{b} \cdot u_y)=
   (\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y)
</math>
: <math>
   (\mathit{a} \cdot \mathit{b} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot \mathit{b} \cdot u_y)=
   (\mathit{a} \cdot \mathit{b} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot \mathit{b} \cdot u_y)
</math>

6) <math>\mathit{1} \in{} R</math> sea elemento neutro en el producto:
: <math>
   \mathit{1} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} , \quad
   \forall{} \mathbf{u} \in{} V
</math>

Que resulta:
: <math>
   \mathit{1} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u}
</math>
: <math>
   \mathit{1} \cdot (u_x, u_y) = \mathbf{u}
</math>
: <math>
   (\mathit{1} \cdot u_x, \mathit{1} \cdot u_y) = \mathbf{u}
</math>
: <math>
   (u_x, u_y) = \mathbf{u}
</math>

Que tiene la propiedad distributiva:

7) distributiva por la izquierda:
: <math>
   \mathit{a} \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) =
   \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{a} \cdot \mathbf{v} , \quad
   \forall{} \mathit{a}\in{}R , \quad
   \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v} \in{} V
</math>

En este caso tenemos:
: <math>
   \mathit{a} \cdot (\mathbf{u}+ \mathbf{v}) =
   \mathit{a} \cdot \mathbf{u}+ \mathit{a} \cdot \mathbf{v}
</math>
: <math>
   \mathit{a} \cdot ((u_x, u_y) + (v_x, v_y)) =
   \mathit{a} \cdot (u_x, u_y) + \mathit{a} \cdot (v_x, v_y)
</math>
: <math>
   \mathit{a} \cdot (u_x + v_x, u_y + v_y) =
   (\mathit{a} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot u_y) + (\mathit{a} \cdot v_x, \mathit{a} \cdot v_y)
</math>
: <math>
   \mathit{a} \cdot (u_x + v_x, u_y + v_y) =
   (\mathit{a} \cdot u_x + \mathit{a} \cdot v_x, \mathit{a} \cdot u_y + \mathit{a} \cdot v_y)
</math>
: <math>
   (\mathit{a} \cdot (u_x + v_x), \mathit{a} \cdot (u_y + v_y)) =
   (\mathit{a} \cdot (u_x + v_x), \mathit{a} \cdot (u_y + v_y))
</math>

8) distributiva por la derecha:
: <math>
   (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} =
   \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{b} \cdot \mathbf{u} , \quad
   \forall{} \mathit{a}, \mathit{b} \in{} R , \quad
   \forall{} \mathbf{u} \in{} V
</math>

Que en este caso tenemos:
: <math>
   (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} =
   \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{b} \cdot \mathbf{u}
</math>
: <math>
   (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y) =
   \mathit{a} \cdot (u_x, u_y) + \mathit{b} \cdot (u_x, u_y)
</math>
: <math>
   (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y) =
   (\mathit{a} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot u_y) + (\mathit{b} \cdot u_x, \mathit{b} \cdot u_y)
</math>
: <math>
   (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y) =
   (\mathit{a} \cdot u_x + \mathit{b} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot u_y + \mathit{b} \cdot u_y)
</math>
: <math>
   ((\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot u_x, (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot u_y) =
   ((\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot u_x, (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot u_y)
</math>

Queda demostrado que es espacio vectorial.

== Ejemplos de espacios vectoriales ==

=== Los cuerpos ===
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.

*<math> \mathbb{C}</math> es un espacio vectorial de dimensión uno sobre <math> \mathbb{C}</math>.

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su [[Cuerpo (matemática)|subcuerpo]], usando como producto por escalar el producto del cuerpo.

*<math> \mathbb{C}</math> es un espacio vectorial  sobre <math> \mathbb{R}</math>.
*<math> \mathbb{C}</math> es un espacio vectorial  sobre <math> \mathbb{Q}</math>.

=== Sucesiones sobre un cuerpo <math>K_{}^{}</math> ===
El [[Vector (espacio euclídeo)|espacio vectorial más conocido]] notado como <math> K_{}^n</math>, donde ''n''>0 es un [[entero]], tiene como elementos [[tupla|''n''-tuplas]], es decir, [[Sucesión matemática|sucesiones]] finitas de <math>K_{}^{}</math> de longitud ''n'' con las operaciones:

:(''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>)+(''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub>)=(''u''<sub>1</sub>+''v''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>+''v''<sub>2</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>+''v''<sub>n</sub>).

:a(''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>)=(''au''<sub>1</sub>, ''au''<sub>2</sub>, ..., ''au''<sub>''n''</sub>).

Las sucesiones infinitas de <math>K^{}</math> son espacios vectoriales con las operaciones:

:(''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>, ...)+(''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub>, ...)=(''u''<sub>1</sub>+''v''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>+''v''<sub>2</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>+''v''<sub>n</sub>, ...).

:a(''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>, ...)=(''au''<sub>1</sub>, ''au''<sub>2</sub>, ..., ''au''<sub>''n''</sub>, ...).

El espacio de las [[Matriz (matemáticas)|matrices]] <math>n \times m</math>, <math>M_{n \times m}(K)</math>, sobre <math>K^{}</math>, con las operaciones:

:<math> \begin{pmatrix} x_{1,1} & \cdots & x_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n,1} & \cdots & x_{n,m} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_{1,1} & \cdots & y_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ y_{n,1} & \cdots & y_{n,m} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1,1}+y_{1,1} & \cdots & x_{1,m}+y_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n,1}+y_{n,1} & \cdots & x_{n,m}+y_{n,m} \end{pmatrix} </math>

:<math> a \begin{pmatrix} x_{1,1} & \cdots & x_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n,1} & \cdots & x_{n,m} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax_{1,1} & \cdots & ax_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ ax_{n,1} & \cdots & ax_{n,m} \end{pmatrix} </math>

También son espacios vectoriales cualquier agrupación de elementos de <math>K_{}^{}</math> en las cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices <math>n \times m</math>, así por ejemplo tenemos las cajas <math>n \times m \times r</math> sobre <math>K_{}^{}</math> que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una función genérica.

=== Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo ===
El conjunto <math>F_{}^{}</math> de las aplicaciones <math> f : M \rightarrow K</math>, <math>K^{}</math> un cuerpo y <math>M_{}^{}</math> un conjunto, también forman espacios vectoriales mediante la suma y la multiplicación habitual:

:<math>\forall f,g \in F,\; \forall a \in K</math>

<center><math>\begin{matrix}
(f + g)(w) &:= f(w) + g(w)_{}^{},\\
\;\;\;\;(af)(w) &:= a(f)(w)_{}^{}.\;\;\;\;\;\;\;
\end{matrix}</math></center>

==== Los polinomios ====
[[Archivo:FuncionesComoEV.GIF|200px|thumb|Suma de ''f(x)=x+x<sup>2</sup>'' y ''g(x)=-x<sup>2</sup>''.]]

El [[anillo de polinomios|espacio vectorial ''K''[x]]] formado por [[funciones polinómicas]], veámoslo:

:Expresión general: <math> p(x) = r_n x^n+ r_{n-1} x_{}^{n-1}+ ... + r_1 x + r_0 </math>,donde los [[Coeficiente (matemática)|coeficientes]] <math>r_n, \; ..., r_0 \in K</math>, considérese <math>\forall i>n \; r_i=0</math>.

::<math> p(x)+q(x)=(r_n x^n+r_{n-1}x^{n-1}+ ... +r_1 x+r_0^{})</math> <math>+(s_m x^m+ s_{m-1} x^{m-1}+ ... +s_1 x+s_0^{})</math> <math>=..._{}^{}</math> <math>=(t_M x^M+t_{M-1} x^{M-1}+...+t_1 x+t_0^{})=(p+q)(x)</math>, donde <math>M= \max \{ m, \; n \}_{}^{}</math> y <math> t_i=r_i+s_i^{}</math>,

::<math>a(p(x))=a(r_n x^n+ r_{n-1}x^{n-1}+ ... +r_1 x+r_0^{})</math> <math>=( a r_n x^n+ a r_{n-1}x^{n-1}+ ... +a r_1 x + a r_0^{})</math> <math>= t_n x^n+ t_{n-1}x^{n-1}+ ... + t_1 x + t_0^{}=(ap)(x)</math>.

Las [[series de potencias]] son similares, salvo que se permiten infinitos términos distintos de cero.

==== Funciones trigonométricas ====
Las funciones trigonométricas forman espacios vectoriales con las siguientes operaciones:

:Expresión general: <math>f(x)= a_f^{} \sum_{i=1}^n ( b_{f,i} \mbox{sen} (i x) + c_{f,i} \cos (i x) ) \in L^2</math>

::<math>(f+g)(x):=f(x)+g(x)_{}^{}</math> <math>= a_f  \sum_{i=1}^n ( b_{f,i} \mbox{sen} (i x) + c_{f,i} \cos (i x) ) + a_g \sum_{i=1}^n ( b_{g,i} \mbox{sen} (i x) + c_{g,i} \cos(i x) )</math> <math>= ( a_f + a_g ) \sum_{i=1}^n ( (b_{f,i} + b_{g,i}) \mbox{sen} (i x) + ( c_{f,i} + c_{g,i} ) \cos(i x) ) \in L^2</math>,

::<math>(af)(x):=a f(x)_{}^{}</math> <math>= a ( a_f  \sum_{i=1}^n ( b_{f,i} \mbox{sen} (i x) + c_{f,i} \cos (i x) ) )</math> <math>= aa_f  \sum_{i=1}^n ( ab_{f,i} \mbox{sen} (i x) + ac_{f,i} \cos(i x) ) \in L^2</math>.

=== Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas ===
{{AP| ecuación lineal |ecuación diferencial lineal |Sistemas de ecuaciones lineales}}

[[Archivo:IntersecciónEspacioVectorial.gif|170px|thumb|Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables ]]

<math>
\begin{cases}
\begin{matrix} 
a_{1,1}x_1 & + \dots & + a_{1,n}x_n & =0 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m,1}x_1 & + \dots & + a_{m,n}x_n & =0 
\end{matrix}
\end{cases}
\;\;</math> o equivalentemente <math>
\begin{pmatrix} 
a_{1,1} & + \dots & + a_{1,n} \\
\vdots & & \vdots &  \\
a_{m,1} & + \dots & + a_{m,n} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n  \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}
</math> simplificado como <math>A_{}^{}x=0</math>

Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas( ecuaciones lineales en las que <math>x=0_{}^{}</math> es siempre una solución, es decir, <math>(x_1,\; \dots ,\; x_n)=(0,\; \dots ,\; 0)</math>) posee soluciones que forman un espacio vectorial, se puede ver en sus dos operaciones:

:Si <math>Ax=0,Ay=0 \Rightarrow Ax+Ay=0 \Rightarrow </math> <math> A(x+y)=0_{}^{}</math>

:Si <math>Ax=0,a \in K \Rightarrow a(Ax)=0 \Rightarrow </math> <math> A(ax)=0_{}^{}</math>.

También que las ecuaciones en sí, filas de la matriz <math>A_{}^{}</math> notadas como una matriz <math>1\times n </math>, es decir, <math> E_i=(a_{i,1}, \; \dots , \; a_{i,n})</math>, son un espacio vectorial, como se puede ver en sus dos operaciones:

:Si <math> E_ix=0,\; E_jx=0 \Rightarrow </math> <math> E_i^{}x+E_jx=0 \Rightarrow (E_i+E_j)x=0</math>

:Si <math> E_ix=0,\; a \in K \Rightarrow </math> <math> a(E_i^{}x)=0 \Rightarrow (aE_i)x=0</math>.

== Definición de subespacio vectorial ==
Sea <math>V_{}^{}</math> un espacio vectorial sobre <math>K_{}^{}</math>, y <math> U \subset V</math> no vacío, <math>U_{}^{}</math> es un '''[[subespacio vectorial]]''' de <math>V_{}^{}</math> si:

:<math>i)\;\; \forall u,v \in U, u+v \in U</math>

:<math>ii)\; \forall u \in U, \forall k \in K, ku \in U</math>

=== Consecuencias ===
<math>U_{}^{}</math> hereda las operaciones de <math>V_{}^{}</math> como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de <math>U_{}^{}</math>, y como consecuencia tenemos que <math>U_{}^{}</math> es un espacio vectorial sobre <math>K_{}^{}</math>.

Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores, no vacío, se pueden generar subespacios vectoriales, para ello seria útil introducir nuevos conceptos que facilitarán el trabajo sobre estos nuevos espacios vectoriales.

== Resultados internos ==
Para detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es necesario exponer una serie de herramientas cronológicamente vinculadas entre ellas, con las cuales es posible construir resultados válidos en cualquier estructura que sea espacio vectorial. 

=== Combinación lineal ===
[[Archivo:VectorGenerado.gif|250px|thumb|Cada vector ''u'' es combinación lineal de forma única]]

Dado un espacio vectorial <math>E_{}^{}</math>, diremos que un vector ''u'' es '''[[combinación lineal]]''' de los vectores de <math>S=\{v_1, \; \dots , \; v_n \} \subset E</math> si existen escalares <math>a_1, \; \dots , \; a_n</math> tales que
{{ecuación|
<math> u=a_1v_1+ \cdots + a_nv_n</math>
||left}}
Notaremos como <math> \langle S_{}^{} \rangle_E </math> el conjunto resultante de todas las combinaciones lineales de los vectores de <math> S_{}^{} \subset E</math>.

==== Proposición 1 ====

Dado <math>E_{}^{}</math> un espacio vectorial y <math>S \subset E_{}^{}</math> un conjunto de vectores, el conjunto <math>F=\langle S_{}^{} \rangle_E</math> es el subespacio vectorial más pequeño contenido en <math>E_{}^{}</math> y que contiene a <math>S_{}^{}</math>.

{{Demostración|
Si se supone lo contrario, que existe uno más pequeño <math>G_{}^{} \varsubsetneq F \Rightarrow</math> <math> \exists u \in F : u \notin G</math> contradicción, ya que ''u'' está generado por elementos de <math>S \subset F \Rightarrow u \in G</math> a causa de la buena definición de las dos operaciones, por tanto <math>F=G_{}^{}</math>.
}}

:'''Nota'''. En este caso se dice que <math> S_{}^{} </math> es un '''[[Sistema generador|sistema de generadores]]''' que genera a <math>F_{}^{}</math>.

=== Independencia lineal ===
Diremos que un conjunto <math>S_{}^{}=\{ v_1, \; \dots , \; v_n \}</math> de vectores es '''[[independencia lineal|linealmente independiente]]''' si el vector 0 no se puede expresar como combinación lineal no nula de los vectores de <math>S_{}^{}</math>, es decir:

:Si <math>0=a_1v_1+ \cdots + a_nv_n \Rightarrow a_1= \cdots = a_n = 0</math>.

Diremos que un conjunto  <math>S_{}^{}</math> de vectores es '''linealmente dependiente''' si no es linealmente independiente.

==== Proposición 2 ====
<math>v_1,\; \dots, \; v_n</math> son linealmente dependientes <math> \Leftrightarrow \exists v_i \neq 0 : v_i= \sum_{ i \neq j \geq 1}^n a_jv_j </math>

{{Demostración|
<math> \Rightarrow )</math> Linealmente dependientes <math> \Rightarrow 0=b_1v_1+ \cdots + b_nv_n : \exists b_i \neq 0 \Rightarrow</math><math> b_iv_i= - \sum_{ i \neq j \geq 1}^n b_jv_j \Rightarrow</math> <math> v_i= \sum_{ i \neq j \geq 1}^n (-b_j b_i^{-1}) v_j=\sum_{ i \neq j \geq 1}^n a_jv_j</math> tomando <math>a_j= -b_j b_i^{-1} </math>.

<math> \Leftarrow )</math> Si <math> v_i= \sum_{ i \neq j \geq 1}^n a_jv_j \Rightarrow </math> <math> 0=a_1v_1+ \cdots + a_nv_n </math> donde <math>a_i:=-1 \neq 0</math> y por tanto linealmente dependientes.
}}

=== Base de un espacio vectorial ===
{{AP|base (álgebra)|l1=Base|Dimensión de un espacio vectorial|l2=Dimensión}}

Las <cite id=label1>''bases''</cite> revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito) {{nowrap begin}}''B'' = {'''v'''<sub>''i''</sub>}<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>{{nowrap end}} de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector '''v''' puede ser expresado como una suma (llamada ''[[combinación lineal]]'') de elementos de la base
:''a''<sub>1</sub>'''v'''<sub>''i''<sub>1</sub></sub> + ''a''<sub>2</sub>'''v'''<sub>''i''<sub>2</sub></sub> + ... + ''a''<sub>''n''</sub>'''v'''<sub>''i''<sub>''n''</sub></sub>,
donde los ''a''<sub>''k''</sub> son escalares y '''v'''<sub>''i''<sub>''k''</sub></sub> {{nowrap begin}}(''k'' = 1, ..., ''n''){{nowrap end}} elementos de la base ''B''. La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de [[independencia lineal]]. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuación 
:''a''<sub>1</sub>'''v'''<sub>''i''<sub>1</sub></sub> + ''a''<sub>''i''<sub>2</sub></sub>'''v'''<sub>2</sub> + ... + ''a''<sub>''n''</sub>'''v'''<sub>''i''<sub>n</sub></sub> = 0
solo se consigue si todos los escalares ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo de representación es única. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.

=== Base formalmente ===
[[Archivo:BaseGeneradora.gif|200px|thumb|v<sub>1</sub> y v<sub>2</sub> son base de un plano, si hubiese dependencia lineal(alineados) la cuadrícula no podría generarse]]

Dado un sistema de generadores, diremos que es una '''[[base (álgebra)|base]]''' si son linealmente independientes.

:'''Proposición 3.''' Dado un espacio vectorial <math> E, \; \{ v_1, \; \dots , v_n \} = F \subset E</math> es una base <math>  \Leftrightarrow</math> <math> \forall u \in E, \; \exists ! a_i \in K ,\;i \in {1,\; \dots , n} :</math> <math> u=\sum_{i=1}^n a_iv_i</math>.

:'''Proposición 4.''' Dado un espacio vectorial <math> E, \; S= \{v_1,\; \dots , \; v_n \}</math> linealmente independiente y <math>u \notin \langle S \rangle \Rightarrow </math> <math> \{ u \} \cup S = \{ u, \; v_1, \; \dots , \; v_n \} </math> son linealmente independiente.

==== Teorema de la base de generadores ====
Todo sistema de generadores tiene una base.

==== Teorema Steinitz ====
Toda base de un espacio vectorial puede ser cambiada parcialmente por vectores linealmente independientes.

:'''Corolario'''. Si un espacio vectorial <math>E_{}^{}</math> tiene una base de <math>n_{}^{}</math> vectores <math>\Rightarrow </math> cualquier otra base posee <math>n_{}^{}</math> vectores.

=== Observación ===
'''Todo espacio vectorial''' tiene una base. Este hecho se basa en el [[lema de Zorn]], una formulación equivalente del [[axioma de elección]]. Habida cuenta de los otros axiomas de la [[teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel]], la existencia de bases es equivalente al axioma de elección. El [[ultrafilter lemma]], que es más débil que el axioma de elección, implica que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamaño", es decir, [[cardinalidad]]. Si el espacio es generado por un número finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin necesidad de acudir a la teoría de conjuntos.

=== Dimensión ===
Dado un espacio vectorial sobre <math> K_{}^{} </math>:
*Si tiene base finita, diremos '''[[Dimensión de un espacio vectorial|dimensión]]''' al número de elementos de dicha base.
*Si tiene base no finita, diremos que es de '''[[Dimensión de un espacio vectorial|dimensión infinita]]'''.

==== Notación ====
Dado un espacio vectorial <math>E_{}^{}</math> y un subespacio <math>F_{}^{} \subset E</math>, tenemos que:

*Si <math>E_{}^{}</math> tiene dimensión <math> n_{}^{}</math> lo indicaremos como <math> \dim(E)=n_{}^{}</math>.

*Si <math>F_{}^{}</math> tiene dimensión <math> m_{}^{}</math> como subespacio de <math>E_{}^{}</math> lo indicaremos como <math> \dim_E(F)=m_{}^{}</math>.

=== Intersección de subespacios vectoriales ===
Dado dos subespacios vectoriales <math> F, G \subset E</math>, la intersección es subespacio vectorial contenido en estos y lo notaremos como:

:<math> F \cap G:= \{ u : \; u \in F , \; u \in G \}</math>.

:'''Observaciones'''. Para la intersección sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.

La unión de subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial.

=== Suma de subespacios vectoriales ===
Dado dos subespacios vectoriales <math>F, G \subset E</math>, la suma es un subespacio vectorial que contiene a estos y la notaremos como:

:<math> F+G:= \{ u=v_1+v_2 : \; v_1 \in F, \; v_2 \in G \} </math>.

Si F y G son subespacios vectoriales de E, su suma F+G es el subespacio vectorial de E más pequeño que contiene a F y a G.

:'''Observación'''. Para la suma sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.

=== Teorema Fórmula de Grassmann ===
Dado dos subespacios vectoriales <math>F, G \subset E</math> de dimensión finita, tenemos el resultado siguiente:

:<math>  \dim_E(F+G) = \dim_E(F) + \dim_E(G) - \dim_E(F \cap G) </math>.

=== Suma directa de subespacios vectoriales ===
Dados dos subespacios vectoriales <math>F, G \subset E</math>, diremos que <math>F+G_{}^{}</math> es una ''suma directa'' si <math> F \cap G = {0} </math> y lo notaremos como:

::<math> F \oplus G </math>.

Cuando <math>F</math> y <math>G</math> están en suma directa, cada vector de <math>F+G</math> se expresa de forma única como suma de un vector de <math>F</math> y otro vector de <math>G</math>.

=== Cociente de espacios vectoriales ===
Dado un espacio vectorial <math>E\,</math> y un subespacio vectorial <math>F \subset E </math>.

Dados <math>u,v \in E</math> diremos que están [[Relación binaria|relacionados]] módulo <math>F\,</math> si <math> u-v \in F</math>.

*La relación anterior es una [[relación de equivalencia]].

:Se nota por <math> [u] =u+F: = \{u+v : v \in F \} </math> <math>= \{ w : w=u+v , \; v \in F \}</math> a la clase de <math>u\,</math> módulo <math>F\,</math>.

Llamaremos '''[[Espacio cociente (álgebra lineal)|conjunto cociente]]''' o '''espacio cociente''' al conjunto de las clases de equivalencia anterior:

:Se nota por <math> E/F_{}^{}</math> a dicho espacio cociente.

El espacio <math> E/F_{}^{}</math> es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

::<math>\begin{matrix} [u]+ [v] & := & [u+v] \\ \;\;\;\;\;\;\;\lambda [u] & := & [ \lambda u]\;\;\;\; \end{matrix}</math>

== Construcciones básicas ==
Además de lo expuesto en los ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos proporcionan espacios vectoriales a partir de otros. Además de las definiciones concretas que figuran a continuación, también se caracterizan por [[propiedades universales]], que determina un objeto ''X'' especificando las aplicaciones lineales de ''X'' a cualquier otro espacio vectorial.

=== Suma directa de espacios vectoriales ===
Dado dos espacios vectoriales <math>E,\; F_{}^{}</math> sobre un mismo cuerpo <math>K_{}^{}</math>, llamaremos suma directa al espacio vectorial <math>E \times F =</math><math> \{ u:=(u_1,\; u_2) : u_1 \in E,\; u_2 \in F \} </math>, veamos que están bien definidas las dos operaciones:

:<math>u+v=(u_1,\;u_2)+(v_1,\;v_2)=</math><math>(u_1+v_1,\; u_2+v_2)</math>,

:<math>a u =a(u_1,\;u_2)=</math><math>(au_1,\;au_2)</math>.

== Espacios vectoriales con estructura adicional ==
Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden completamente en la medida en que cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por su dimensión. Sin embargo, los espacios vectoriales ''ad hoc'' no ofrecen un marco para hacer frente a la cuestión fundamental para el análisis de si una sucesión de funciones [[Límite de una sucesión|converge]] a otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada ''per se'' para hacer frente a [[series infinitas]], ya que la suma solo permite un número finito de términos para sumar. <cite id=labelFunctionalAnalysis>Las necesidades del [[análisis funcional]] requieren considerar nuevas estructuras.</cite>

=== Espacios normados ===
{{AP|Espacio vectorial normado|Norma (matemáticas)}}

Un espacio vectorial es '''[[Espacio vectorial normado|normado]]''' si está dotado de una [[Norma (matemáticas)|norma]].

:'''Proposición 5'''. Un espacio normado es un espacio métrico, donde la distancia viene dada por:
:<math> d(x,y)=\|x-y\|</math>

Toda distancia inducida por la norma es una distancia.

=== Espacios vectoriales topológicos ===
{{AP|Espacio vectorial topológico}}

Dada una topología <math> \tau_{}^{}</math> sobre un espacio vectorial <math>X_{}^{}</math> donde los puntos sean cerrados y las dos operaciones del espacio vectorial sean continuas respecto dichas topología, diremos que:
*<math> \tau_{}^{}</math> es una '''topología vectorial''' sobre <math> X_{}^{}</math>,
*<math> X_{}^{}</math> es un '''espacio vectorial topológico'''.

<!--citando a Rudin-->
:'''Proposición 6.'''. Todo espacio vectorial topológico dotado de una métrica es espacio normado.
:'''Proposición 7.'''. Todo espacio normado es un espacio vectorial topológico.

=== Espacios de Banach ===
{{AP|Espacio de Banach}}

Un espacio de '''Banach''' es un espacio normado y completo.

=== Espacios prehilbertianos ===
{{AP|Espacio prehilbertiano}}

Un '''[[espacio prehilbertiano]]''' es un par <math>(E_{}^{},\langle \cdot | \cdot \rangle)</math>, donde <math>E_{}^{}</math> es un espacio vectorial y <math> \langle \cdot | \cdot \rangle </math> es un [[Producto escalar|producto a escalar]].

=== Espacios de Hilbert ===
{{AP|Espacio de Hilbert}}

Un '''espacio de  Hilbert''' es un espacio prehilbertiano completo por la norma definida por el producto escalar.

== Morfismos entre espacios vectoriales ==
Son [[Teoría de categorías|aplicaciones entre espacios vectoriales]] que mantienen la estructura de los espacios vectoriales, es decir, conservan las dos operaciones y las propiedades de estas de uno a otro de dichos espacios.

=== Aplicaciones lineales ===
{{AP|Aplicación lineal}}

Dado dos espacios vectoriales <math>E_{}^{}</math> y <math>F_{}^{}</math>, sobre un mismo cuerpo, diremos que una aplicación <math>f:E \rightarrow F</math> es '''lineal''' si:

:<math>f(u+_E v)=f(u)+_F f(v)_{}^{}</math>,

:<math>f(a \cdot_E u)=a \cdot_F f(u)</math>.

== Véase también ==
* [[Combinación lineal]]
* [[Sistema generador]]
* [[Independencia lineal]]
* [[Base (álgebra)]]
* [[Teorema rango-nulidad]]
* [[Ortogonal|Base Ortogonal]]
* [[Ortonormal|Base Ortonormal]]
* [[Coordenadas cartesianas]]
* [[Producto escalar]]
* [[Producto vectorial]]
* [[Producto mixto]]
* [[Producto tensorial]]

{{Portal|Matemática}}
{{Wikibooks|Álgebra|Espacio vectorial}}

== Referencias ==
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=== Notas ===
<references group="nota" />

=== Referencias históricas ===
* {{cita libro | apellidos = Banach | nombre = Stefan| enlaceautor = Stefan Banach| año = 1922| título = Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations)| editorial = [[Fundamenta Mathematicae]]| id = {{ISSN|0016-2736}} | volumen = 3| URL = http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf| idioma = francés}}
* {{cita libro | apellidos = Bolzano| nombre = Bernard| enlaceautor = Bernard Bolzano| año = 1804| título = Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry)| volumen = | url = http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338| idioma = alemán}}
* {{cita libro | apellidos = Bourbaki| nombre = Nicolas| enlaceautor = Nicolas Bourbaki| año = 1969| título = Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics)| editorial = Hermann| ubicación = París| volumen = | url = | idioma = francés}}
* {{cita libro | apellidos = Grassmann| nombre = Hermann| enlaceautor = Hermann Grassmann| año = 1844| título = Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik| volumen = | url = http://books.google.com/books?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1&dq=Die+Lineale+Ausdehnungslehre+ein+neuer+Zweig+der+Mathematik| idioma = alemán}}
* {{cita libro | apellidos = Hamilton| nombre = William Rowan| enlaceautor = William Rowan Hamilton| año = 1853| título = Lectures on Quaternions| editorial = Royal Irish Academy| volumen = | url = http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=05230001&seq=9| idioma = inglés}}
* {{cita libro| apellidos = Möbius| nombre = August Ferdinand| enlaceautor = August Ferdinand Möbius| año = 1827| título = Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry)| volumen = | url = http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0| idioma = alemán| urlarchivo = https://web.archive.org/web/20090412013616/http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0| fechaarchivo = 12 de abril de 2009}}
* {{Obra citada | apellido1=Moore | nombre1=Gregory H. | título=The axiomatization of linear algebra: 1875–1940 | año=1995 | pub-periódica=[[Historia Mathematica]] | issn=0315-0860 | volumen=22 | número=3 | páginas=262–303}}
* {{cita libro | apellidos = Peano| nombre = Giuseppe| enlaceautor = Giuseppe Peano| año = 1888| título = Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva| ubicación = Turin| volumen = | url = | idioma = italiano}}

=== Bibliografía ===
*{{cita libro |apellido= Castellet, M. |apellido2= Llerena, I. |enlaceautor= |título= Àlgebra lineal i geometría |url= |fechaacceso= |idioma= catalán |otros= |edición= |año= 1988 |editor= |editorial= Publ. UAB |ubicación= |isbn= |capítulo= IV espais vectorials |páginas=  }}
*{{cita libro |apellido= Lang, S. |enlaceautor= |título= Álgebra Lineal |url= |fechaacceso=16 de octubre de 2011 |idioma= |otros= |edición= |año= 1976 |editor= |editorial= Fondo Educativo Interamericano |ubicación= |isbn= |capítulo= |páginas=  }}
*Queysanne, M., ''Álgebra Básica'', Vicens-Vives. 1973.
*Rudin, w., ''Análisis Funcional'' (Definición axiomática de espacios vectoriales topológicos introductivamente), Reverté.

== Enlaces externos ==
* [https://web.archive.org/web/20051001062338/http://www.frontiernet.net/~imaging/vector_calculator.html Juega con vectores]
* {{MathWorld|VectorSpace|Espacio vectorial}}
* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-9-independence-basis-and-dimension/ A lecture] about fundamental concepts related to vector spaces (given at [[MIT]])
* [http://code.google.com/p/esla/ A graphical simulator] for the concepts of span, linear dependency, base and dimension

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[[Categoría:Álgebra lineal]]
[[Categoría:Vectores]]