Ver el código de «Ecuaciones de Maxwell»

{{Artículo bueno}}[[Archivo:Electromagnetism.svg|thumb|250px|Las cuatro ecuaciones de Maxwell describen todos los [[electromagnetismo|fenómenos electromagnéticos]]; aquí se muestra la [[inducción magnética]] por medio de una [[corriente eléctrica]].]]
Las '''ecuaciones de Maxwell''' son un conjunto de cuatro [[ecuación|ecuaciones]] (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los [[electromagnetismo|fenómenos electromagnéticos]]. La gran contribución de [[James Clerk Maxwell]] fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a [[Charles-Augustin de Coulomb|Coulomb]], [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], [[André-Marie Ampère|Ampere]], [[Michael Faraday|Faraday]] y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el [[campo electromagnético]].<ref>{{cita web maxwell
 |url          = http://cabierta.uchile.cl/libros/c-utreras/node130.html
 |título      = Ecuaciones de Maxwell
 |fechaacceso  = 15 de enero de 2008
 |año         = agosto
 |mes          = 1999
 |urlarchivo   = https://web.archive.org/web/20080123085456/http://cabierta.uchile.cl/libros/c-utreras/node130.html
 |fechaarchivo = 23 de enero de 2008
}}</ref>

== Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell ==
[[Archivo:James-clerk-maxwell 1.jpg|thumb|125px|Retrato de [[Maxwell]]]]
{{VT|Electromagnetismo}}
Desde finales del siglo XVIII diversos científicos formularon leyes cuantitativas que relacionaban las interacciones entre los campos eléctricos, los campos magnéticos y las corrientes sobre conductores. Entre estas leyes están la [[ley de Ampère]], la [[ley de Faraday]] o la [[ley de Lenz]]. Maxwell lograría unificar todas estas leyes en una descripción coherente del [[campo electromagnético]].

Maxwell se dio cuenta de que la conservación de la carga eléctrica parecía requerir introducir un término adicional en la ley de Ampère. De hecho, actualmente se considera que uno de los aspectos más importantes del trabajo de Maxwell en el [[electromagnetismo]] es el término que introdujo en dicha ley: la [[derivada]] temporal de un [[campo eléctrico]], conocida como [[corriente de desplazamiento]]. El trabajo que Maxwell publicó en [[1865]], ''[[iarchive:dynamicaltheoryo00maxw|A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field]]'', modificaba la versión de la ley de Ampère con lo que se predecía la existencia de ondas electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo.<ref>{{cita web |url = http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/negro/espectro/espectro.htm |título = El espectro electromagnético |fechaacceso = 15 de enero de 2008 |autor = Ángel Franco García: Universidad del País Vasco |fecha = octubre de 2006 }}</ref> 

Exceptuando la modificación a la ley de Ampère, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue reobtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday.

En 1884, [[Oliver Heaviside]] junto con [[Willard Gibbs]] agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la notación [[Vector (física)|vectorial]] actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside usó [[derivada parcial|derivadas parciales]] temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, en la ecuación (54). Ello provocó que se perdiera el término '''<math>v \times B</math>''' que aparecía en la ecuación posterior del trabajo de Maxwell (número 77). En la actualidad, este término se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce como [[fuerza de Lorentz]].

La historia es aún confusa, debido a que el término '''ecuaciones de Maxwell''' se usa también para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicación de Maxwell de 1865, ''A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field'', y esta confusión se debe a que seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de coordenadas, así se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte incógnitas. Los dos ''tipos'' de ecuaciones son casi equivalentes, a pesar del término eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones.

== Detalle de las ecuaciones ==
<!-- === Conceptos previos <ref>{{cita publicación|apellido=Lopez Ruperez|nombre=Francisco|publicación=(4) La fisica de los operadores diferenciales|url=http://www.doredin.mec.es/documentos/00820073007842.pdf|fechaacceso=22 de julio de 2013}}</ref> ===
Antes de poder entender las ecuaciones de Maxwell es necesario entender los conceptos matemáticos de divergencia y rotacional de un vector. Se explicará de forma intuitiva el significado de los operadores diferenciales básicos, con el mínimo posible de expresiones matemáticas.

====Operador nabla====
Se define como:
:<math>\vec{\nabla} = \boldsymbol{u_x}\frac{\partial}{\partial x} +\boldsymbol{u_y}\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{u_z}\frac{\partial}{\partial z}</math>

====Gradiente====
Si se aplica este operador a un campo escalar, se obtiene un vector con módulo y dirección, representado por una flecha en el espacio, según la siguiente expresión:
:<math>\vec{\nabla} \varphi = \boldsymbol{u_x}\frac{\partial \varphi}{\partial x}+\boldsymbol{u_y}\frac{\partial \varphi}{\partial y}+\boldsymbol{u_z}\frac{\partial \varphi}{\partial z} </math>
El vector representa cuánto varía el campo escalar respecto a cada uno de sus ejes. Si el campo escalar es un potencial, entonces su gradiente será una fuerza.

==== Divergencia ====
El concepto se entiende a partir del [[teorema de la divergencia]] o teorema de Gauss. La divergencia del vector φ representa el flujo neto que emerge por unidad de volumen de una superficie cerrada. Pero ese volumen es infinitesimal. Debe haber un sumidero o una fuente de flujo para que entre flujo o salga flujo de un volumen respectivamente; en el caso de que el flujo salga de una fuente se representa con vectores saliendo del punto que las genera (div φ > 0) o vectores entrando hacia un punto en el caso contrario (div φ < 0). Si en la unidad de volumen (imagínese una esfera) entra el mismo flujo que sale, representándose por los vectores que pasan a través de dicho volumen, entonces no existe nada dentro de ese volumen que provoque flujo en uno u otro sentido (div φ = 0).

==== Rotacional ====
El rotor se entiende a partir del [[teorema de Stokes]]. Del cual se infiere que el rotor tiene que ver con el significado de torbellinos. El vector φ rota en torno a un punto, se producen circulaciones en trayectorias cerradas del vector φ, en este caso el rot φ != 0. Rotor distinto de 0.-->

=== Ley de Gauss para el campo eléctrico ===
{{AP|Ley de Gauss}}
[[Archivo:LeyGauss1.jpg|300px|thumb|[[Flujo eléctrico]] de una [[carga eléctrica|carga]] puntual en una superficie cerrada]]
La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del [[campo eléctrico]] a través una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dicha superficie. Se define como [[flujo eléctrico]] (<math>\Phi_E\,</math>) a la cantidad de ''fluido eléctrico'' que atraviesa una superficie dada. Análogo al [[flujo de un campo vectorial|flujo]] de la [[mecánica de fluidos]], este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico (<math>\vec{E}</math>) que pasa por una superficie S.<ref>{{cita web|url=http://cabierta.uchile.cl/libros/c-utreras/node16.html|título=Teorema de Gauss y Flujo Eléctrico|fechaacceso=19 de enero de 2008|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20080129044505/http://cabierta.uchile.cl/libros/c-utreras/node16.html|fechaarchivo=29 de enero de 2008}}</ref> Matemáticamente se expresa como:
:<math>\Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot \rm{d}\vec{S}</math>

La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la [[carga eléctrica|carga]] (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la [[Absorción (electricidad)|permitividad eléctrica]] en el vacío (<math>\varepsilon_0</math>), así:<ref>{{cita web|url= http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/linea/linea.htm| título=Línea de cargas. Ley de Gauss| fechaacceso=18 de enero de 2008}}</ref><ref name="Feynman">{{cita libro|autor= Richard Feynman|título = Feynman lectures on Physics Volume 2|año = 1974|id=ISBN 0-201-02115-3| editorial = Addison Wesley Longman|idioma= inglés}}</ref>
{{ecuación|
<math>\oint_{S} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = \frac {q}{\varepsilon_0}</math>
||left}}
La forma diferencial de la ley de Gauss, en forma local, afirma que por el [[teorema de Gauss-Ostrogradsky]], la [[Divergencia (matemática)|divergencia]] del campo eléctrico es proporcional a la [[densidad de carga eléctrica]], es decir,
{{ecuación|
<math>\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
||left}}
donde <math>\rho</math> es la densidad de carga en el medio interior a la superficie cerrada. Intuitivamente significa que el campo E [[Divergencia (matemática)|diverge]] o sale desde una carga <math>\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>, lo que se representa gráficamente como [[vectores]] que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por convención si el valor de la expresión es positivo entonces los vectores salen, si es negativo estos entran a la carga. 

Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada [[densidad de flujo eléctrico]] (<math>\vec{D}</math>) y nuestra expresión obtiene la forma:
:<math>\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho</math>

=== Ley de Gauss para el campo magnético ===
{{AP|Ley de Gauss|Monopolo magnético}}
[[Archivo:VFPt cylindrical magnet.svg|thumb|right|300px|Las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo que no existe un [[monopolo magnético]].]]

Experimentalmente se llegó al resultado de que los [[campo magnético|campos magnéticos]], a diferencia de los [[campo eléctrico|eléctricos]], no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las [[línea de campo|líneas]] de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea esta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del [[monopolo magnético]]. Al encerrar un dipolo en una superficie cerrada, no sale ni entra flujo magnético,
por lo tanto el campo magnético no diverge, no sale de la superficie. Entonces la [[Divergencia (matemática)|divergencia]] es cero.<ref>{{cita web| url = http://power.die.uchile.cl/docencia/fi33a/capitulo_6_magnetostatica_1.pdf| título = Magnetostática| fechaacceso = 19 de enero de 2008}}</ref> Matemáticamente esto se expresa así:<ref name="Feynman"/>
{{ecuación|
<math>\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0</math>
||left}}
donde <math>\vec{B}</math> es la densidad de [[flujo magnético]], también llamada [[inducción magnética]]. Es claro que la [[Divergencia (matemática)|divergencia]] sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este hace caminos cerrados. El campo no diverge, es decir la [[Divergencia (matemática)|divergencia]] de B es nula.

Su forma integral equivalente:
{{ecuación|
<math>\oint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = 0</math>
||left}}
Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación solo funciona si la integral está definida en una superficie cerrada.

=== Ley de Faraday-Lenz ===
{{AP|Ley de Faraday}}
La ley de [[Michael Faraday|Faraday]] nos habla sobre la [[inducción electromagnética]], la que origina una [[fuerza electromotriz]] en un [[campo magnético]]. Es habitual llamarla ley de Faraday-Lenz en honor a [[Heinrich Lenz]] ya que el signo menos proviene de la [[Ley de Lenz]]. También se le llama como ley de Faraday-Henry, debido a que [[Joseph Henry]] descubrió esta inducción de manera separada a Faraday pero casi simultáneamente.<ref>{{cita web| url=http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/magnetismo/induccion/Induccion.htm |título = Concepto de Flujo|fechaacceso=19 de enero de 2008}}</ref> Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz (<math>\mathcal{E}</math>), si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier [[circuito eléctrico]]; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del [[flujo magnético]], así:<ref name="faraday">{{cita web| url= http://tamarisco.datsi.fi.upm.es/ASIGNATURAS/FFI/apuntes/camposMagneticos/teoria/variables/variables2/variables2.htm |título= Ley de Faraday-Henry| fechaacceso = 19 de enero de 2008}}</ref>
:<math>\mathcal{E} = - \frac{\mathrm{d} \phi_B}{\mathrm{d} t}</math>,
como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo magnético es igual a:
:<math>\phi_B = \int_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}</math>.
Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un [[campo eléctrico]] que se representa como:
:<math>\mathcal{E} = \oint \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell}</math>
con lo que finalmente se obtiene la expresión de la [[ley de Faraday]]:<ref name="Feynman"/>
:<math>\oint \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = -\int_{S} { \mathrm{d} \vec{B} \over \mathrm{d}t } \cdot \mathrm{d}\vec{S}</math>

Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético en cualquier superficie limitada por el camino cerrado.

El signo negativo explica que el sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo produce, compensando así la variación de flujo magnético ([[Ley de Lenz]]).

La forma diferencial local de esta ecuación es:
{{ecuación|
<math>\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}</math>
||left}}
Es decir, el [[rotacional]] del campo eléctrico es la derivada de la inducción magnética con respecto al tiempo.

Se interpreta como sigue: si existe una variación de campo magnético B entonces este provoca un campo eléctrico E o bien la existencia de un campo magnético no estacionario en el espacio libre provoca circulaciones del vector E a lo largo de líneas cerradas. En presencia de cargas libres, como los electrones, el campo E puede desplazar las cargas y producir una corriente eléctrica. Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, y tiene otras aplicaciones prácticas como los [[motor eléctrico|motores eléctricos]] y los [[generador eléctrico|generadores eléctricos]] y explica su funcionamiento. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magnético que atraviesa una superficie dada.

=== Ley de Ampère generalizada ===
{{AP|Ley de Ampère generalizada}}

[[André-Marie Ampère|Ampère]] formuló una relación para un [[campo magnético]] inmóvil y una [[corriente eléctrica]] que no varía en el [[tiempo]]. La [[ley de Ampère]] nos dice que la circulación en un campo magnético (<math>\vec{B}</math>) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la [[densidad de corriente]] (<math>\vec{J}</math>) sobre la superficie encerrada en la curva C, matemáticamente así:<ref name="Feynman"/>
:<math>\oint_C \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 \int_S \vec{J} \cdot \mathrm{d}\vec{S}</math>
donde <math>\ \mu_0</math> es la [[permeabilidad magnética]] en el vacío.

Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la [[Carga eléctrica#Principio de conservaci.C3.B3n de la carga|conservación de la carga]].<ref name="ampere">{{cita web|url = http://tamarisco.datsi.fi.upm.es/ASIGNATURAS/FFI/apuntes/camposMagneticos/teoria/variables/variables12/variables12.htm |título = Ley de Ampere-Maxwell| fechaacceso = 20 de enero de 2008}}</ref> Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente por [[Heinrich Rudolf Hertz]].

Maxwell reformuló esta ley así:<ref name="Feynman"/>
:<math>\oint_C \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 \int_S \vec{J} \cdot \mathrm{d}\vec{S} + \mu_0 \, \varepsilon_0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_S \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{S}</math>.

En el caso específico estacionario esta relación corresponde a la ley de Ampère, además confirma que un [[campo eléctrico]] que varía con el tiempo produce un campo magnético y además es consecuente con el principio de conservación de la carga.<ref name="ampere"/>

En forma diferencial, esta ecuación toma la forma:
:<math>\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \, \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}</math>.

En forma sencilla esta ecuación explica que si se tiene un conductor, un alambre recto que tiene una densidad de corriente J, esta provoca la aparición de un campo magnético B rotacional alrededor del alambre y que el rotor de B apunta en el mismo sentido que J.

== En medios materiales ==

Para el caso de que las cargas estén en medios materiales, y asumiendo que estos son lineales, homogéneos, isótropos y no dispersivos, podemos encontrar una relación entre los vectores [[intensidad eléctrica]] e [[inducción magnética]] a través de dos parámetros conocidos como [[permitividad eléctrica]] y la [[permeabilidad magnética]]:<ref name="medio">{{cita libro|autor=Ángel Cardama Aznar|título=Antenas|id=ISBN 84-8301-625-7|año=2002| editorial = UPC}}</ref>
:<math>\vec{D} = \varepsilon \vec{E} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec{E}</math>
:<math>\vec{B} = \mu \vec{H} = \mu_0 \mu_r \vec{H}</math>

Pero estos valores también dependen del medio material, por lo que se dice que un medio es lineal cuando la relación entre E/D y B/H es lineal. Si esta relación es lineal, matemáticamente se puede decir que <math>\varepsilon</math> y <math>\mu</math> están representadas por una [[matriz (matemática)|matriz]] 3x3. Si un medio es [[isotropía|isótropo]] es porque esta matriz ha podido ser [[matriz diagonal|diagonalizada]] y consecuentemente es equivalente a una función <math>\varepsilon(x,y,z)</math>; si en esta [[matriz diagonal|diagonal]] uno de los elementos es diferente al otro se dice que es un medio [[Anisotropía|anisótropo]]. Estos elementos también son llamados [[constante dieléctrica|constantes dieléctricas]] y, cuando estas constantes no dependen de su posición, el medio es homogéneo.<ref name="liliana">{{cita web|url= http://web.fi.uba.ar/~eliva/Fisica2/Apuntes/maxwell.pdf| título = APUNTE:Ecuaciones de Maxwell|fechaacceso=22 de enero de 2008|autor=Liliana I. Pérez}}</ref>

Los valores de <math>\varepsilon</math> y <math>\mu</math> en medios lineales no dependen de las intensidades del campo. Por otro lado, la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas están en medios homogéneos e isótropos. Los medios heterogéneos e isótropos dependen de las coordenadas de cada punto por lo que los valores, escalares, van a depender de la posición. Los medios anisótropos son [[tensor]]es.<ref name="medio"/> Finalmente, en el vacío tanto <math>\ \rho</math> como <math>\vec{J}</math> son cero porque suponemos que no hay fuentes.

En la siguiente tabla encontramos las ecuaciones como se las fórmula en el caso general y en la materia.<ref name="vacío">{{cita web|url= http://www.lawebdefisica.com/dicc/maxwell/|título = Ecuaciones de Maxwell|fechaacceso=23 de enero de 2008|autor=La web de Física|año=2008}}</ref>
<center>
{| class="wikitable" border="1"
! En el vacío
! En la materia
|-----
| <math>\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
| <math>\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho</math>
|-bgcolor="#EFEFEF"
| <math>\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0</math>
| <math>\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0</math>
|-----
| <math>\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\part{\vec{B}}}{\part{t}}</math>
| <math>\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\part{\vec{B}}}{\part{t}}</math>
|-bgcolor="#EFEFEF"
| <math>\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}</math>
| <math>\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\part{\vec{D}}}{\part{t}}</math>
|}
</center>

== Ecuaciones de Maxwell ==

Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:

<center>
{| class="wikitable" border="1"
! Nombre
! Forma [[Ecuaciones en derivadas parciales|diferencial]] 
! Forma [[integral]]
|-----
| [[Ley de Gauss]]:
| <math>\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
|<math>\oint_{S} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac {q}{\varepsilon_0}</math>
|-bgcolor="#EFEFEF"
| Ley de Gauss para el campo magnético:
| <math>\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0</math> 
|<math>\oint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0</math>
|-----
| [[Ley de Faraday]]:
| <math>\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}</math>
|<math>\oint_C \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = - \ { \mathrm{d} \over \mathrm{d}t } \int_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}</math>
|-bgcolor="#EFEFEF"
| [[Ley de Ampère generalizada]]:
|<math>\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \, \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}</math>
|<math>\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 \int_S \vec{J} \cdot \mathrm{d}\vec{S} + \mu_0 \, \varepsilon_0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}</math>
|}
</center>

Estas cuatro ecuaciones junto con la [[fuerza de Lorentz]] son las que explican cualquier tipo de fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeñas excepciones, y que son compatibles con la [[relatividad especial]] y [[relatividad general|general]]. Además Maxwell descubrió que la cantidad <math>c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0} \, \mu_0}}</math> era simplemente la [[velocidad de la luz]] en el vacío, por lo que la luz es una forma de [[radiación electromagnética]]. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla:

<center>
{| class="wikitable" border="1"
! Símbolo
! Nombre
! Valor numérico
! Unidad de medida SI
! Tipo
|-
|-
| <math> c \ </math>
| Velocidad de la luz en el vacío
|<math> 2,99792458 \times 10^{8} </math>
| metros por segundo
| definido
|-
| <math> \ \varepsilon_0 </math>
| [[Permitividad del vacío]]
| <math> 8,854 \times 10^{-12} </math>
| [[faradio]]s por metro
| derivado
|-
|<math>\ \mu_0 \ </math>
| [[Permeabilidad magnética]]
|<math> 4 \pi \times 10^{-7} </math>
| [[henrio]]s por metro
| definido
|}

</center>

== Potencial escalar y potencial vector ==
{{AP|Potencial vector magnético}}

Como consecuencia matemática de las ecuaciones de Maxwell y además con el objetivo de simplificar sus cálculos se han introducido los conceptos de potencial vector (<math>\vec{A}</math>) y potencial escalar (<math>\ \Phi</math>). Este potencial vector no es único y no tiene significado físico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de [[corriente eléctrica|corriente]] da lugar a una contribución <math>\mathrm{d}\vec{A}</math> paralela a la corriente.<ref>{{cita web|url = http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym5/sld0006.htm| título = Potencial Vector Magnético| fechaacceso = 21 de enero de 2008}}</ref> Este potencial se obtiene como consecuencia de la [[ley de Gauss]] para el [[flujo magnético]], ya que se conoce que si la [[divergencia (matemática)|divergencia]] de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a un [[rotacional]], así:<ref name="vector" >{{cita web|url = http://www.upv.es/antenas/Tema_2/definicion_potenciales.htm| título = Ecuaciones del Electromagnetismo|fechaacceso = 21 de enero de 2008}}</ref>
:<math>\nabla \cdot \vec{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) = 0</math>
:<math>\Longleftrightarrow \quad \vec{B} = \nabla \times \vec{A}</math>

A partir de este potencial vector y de la [[ley de Faraday]] puede definirse un potencial escalar así:<ref name="vacío"/>

<math>\begin{align} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\part{\vec{B}}}{\part{t}}\\ \nabla \times \vec{E} + \frac{\part}{\part{t}} (\nabla \times \vec{A})&=0 \\ \nabla \times \Big(\vec{E} + \frac{\part{\vec{A}}}{\part{t}}\Big) &= 0\\ \Longleftrightarrow \quad - \nabla \Phi &= \vec{E} + \frac{\part{\vec{A}}}{\part{t}} \end{align}</math>

donde el signo menos (<math>-</math>) es por convención. Estos potenciales son importantes porque poseen una [[simetría gauge]] que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos.<ref name="vacío"/> El [[campo eléctrico]] en función de los potenciales:
 
:<math>\vec{E} = - \nabla \Phi - \frac{\part{\vec{A}}}{\part{t}}</math>

Hallamos que con la introducción de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell quedan reducidas solo a dos, puesto que, la [[ley de Gauss]] para el [[campo magnético]] y la [[ley de Faraday]] quedan satisfechas por definición. Así la [[ley de Gauss]] para el [[campo eléctrico]] escrita en términos de los potenciales:

<math>- \nabla^2 \Phi - \cfrac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\vec A) =\cfrac{\rho}{\varepsilon_0}</math>

y la [[ley de Ampère generalizada|ley de ampère generalizada]]

<math>\nabla(\nabla\cdot\vec A)- \nabla^2\vec A=\mu_0 \,\vec{J} -\mu_0 \,\varepsilon_0\frac{\part}{\part t}\bigg(\nabla\Phi+\frac{\part\vec A}{\part t}\bigg)</math>.

Nótese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo orden. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada elección del [[simetría gauge|gauge]].

== Consecuencias físicas de las ecuaciones ==
=== Principio de conservación de la carga ===
{{AP|Carga eléctrica}}
Las ecuaciones de Maxwell llevan implícitas el [[Carga eléctrica#Principio de conservación de la carga|principio de conservación de la carga]]. El principio afirma que la [[carga eléctrica|carga]] eléctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, sino que únicamente se transfiere; y que si en una superficie cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema. Es decir la densidad de carga <math>\mathbf{\rho}</math> y la densidad de corriente <math>\vec \jmath</math> satisfacen una [[ecuación de continuidad]].

A partir de la forma diferencial de la ley de Ampère se tiene:

<math>\vec\nabla\cdot\left(\vec\nabla\times\vec B\right)=\mu_0\vec\nabla\cdot\vec{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec\nabla\cdot\vec E\right)</math>

que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que <math>\vec\nabla\cdot\left(\vec\nabla\times\vec A\right)= 0</math> (para cualquier vector <math>\vec A</math>), se obtiene:

<math>0=\vec\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}</math>

o bien en forma integral: <math>0=\oint_S \vec{J}\cdot \mathrm{d}\vec S+\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}</math>.

== Ecuaciones originales de Maxwell == 

En el capítulo III de ''A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field'', titulado «Ecuaciones generales del campo electromagnético», Maxwell formuló ocho ecuaciones que nombró de la A a la H.<ref>{{cita web|url = http://www.zpenergy.com/downloads/Maxwell_1864_3.pdf|título = Professor Clerk Maxwell on the electromagnetic field|fechaacceso=21 de enero de 2008|idioma=inglés}}</ref> Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como «las ecuaciones de Maxwell», pero ahora este epíteto lo reciben las ecuaciones que agrupó Heaviside. La versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene solo una ecuación de las ocho originales, la [[ley de Gauss]] que en el conjunto de ocho sería la ecuación G. Además Heaviside fusionó la ecuación A de Maxwell de la corriente total con la [[ley circuital de Ampère]] que en el trabajo de Maxwell era la ecuación C. Esta fusión, que Maxwell por sí mismo publicó en su trabajo ''On Physical Lines of Force'' de [[1861]] modifica la ley circuital de Ampère para incluir la [[corriente de desplazamiento]] de Maxwell.

Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial así: 

<center>
{| class="wikitable" border="1"
! Denominación
! Nombre
! Ecuación
|-----
| A
| Ley de corrientes totales
| <math>\vec{J}_{\rm tot} = \vec{J} + \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}</math> 
|-bgcolor="#EFEFEF"
| B
| Definición de [[vector potencial magnético]]
| <math>\mu \vec{H} = \vec{\nabla} \times \vec{A}</math>
|-----
| C
| Ley circuital de Ampère
| <math>\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J}_{\rm tot}</math>
|-bgcolor="#EFEFEF"
| D
| Fuerza de Lorentz
| <math>\vec{E} = \mu \vec{v} \times \vec{H} - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\nabla \phi </math>
|-----
| E
| Ecuación de electricidad elástica
| <math>\vec{E} = \frac{1}{\varepsilon} \vec{D}</math>
|-bgcolor="#EFEFEF"
| F
| [[Ley de Ohm]]
| <math>\vec{E} = \frac{1}{\sigma} \vec{J}</math>
|-----
| G
| [[Ley de Gauss]]
| <math>\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho</math>
|-bgcolor="#EFEFEF"
| H
| Ecuación de continuidad de [[carga eléctrica|carga]]
| <math>\vec{\nabla} \cdot \vec{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}</math>
|}
</center>

donde: <math>\vec{H}</math> es el [[Vector (física)|vector]] [[Intensidad de campo magnético|intensidad]] de [[campo magnético]] (llamado por Maxwell como ''intensidad magnética''); <math>\vec{J}</math> es la [[densidad de corriente]] eléctrica y <math>\vec{J}_{\rm tot}</math> es la corriente total incluida la corriente de desplazamiento; <math>\vec{D}</math> es el campo desplazamiento ([[desplazamiento eléctrico]]); <math>\ \rho</math> es la densidad de carga libre (cantidad libre de electricidad); <math>\vec{A}</math> es el [[vector potencial magnético]] (impulso magnético); <math>\vec{E}</math> es el [[campo eléctrico]] (fuerza electromotriz [no confundir con la actual definición de [[fuerza electromotriz]]]); <math>\ \phi</math> es el [[potencial eléctrico]] y <math>\ \sigma</math> es la [[conductividad eléctrica]] (resistencia específica, ahora solo [[resistencia eléctrica|resistencia]]).

Maxwell no consideró a los medios materiales en general, esta formulación inicial usa la [[permitividad]] y la [[permeabilidad]] en medios lineales, [[isotropía|isótropos]] y no [[dispersión (física)|dispersos]], a pesar que también se las puede usar en medios anisótropos.

Maxwell incluyó el término <math>\mu \vec{v} \times \vec{H}</math> en la expresión de la fuerza electromotriz de la ecuación D, que corresponde a la [[fuerza magnética]] por unidad de carga en un conductor que se mueve a una velocidad <math>\vec{v}</math>. Esto significa que la ecuación D es otra formulación de la [[fuerza de Lorentz]]. Esta ecuación primero apareció como la ecuación 77 de la publicación ''On Physical Lines of Force'' de Maxwell, anterior a la publicación de Lorentz. En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de Maxwell pero se la considera una ecuación adicional fundamental en el [[electromagnetismo]].

== Expresión de las ecuaciones en relatividad ==
En la [[relatividad especial]], las ecuaciones de Maxwell en el [[Vacío (física)|vacío]] se escriben mediante unas relaciones geométricas, las cuales toman la misma forma en cualquier [[sistema de referencia inercial]]. Estas ecuaciones están escritas en términos de [[cuadrivector]]es y [[tensor]]es [[covariante|contravariantes]], que son objetos geométricos definidos en [[Espacio-tiempo de Minkowski|M<sup>4</sup>]]. Estos objetos se relacionan mediante [[forma diferencial|formas diferenciales]] en relaciones geométricas que al expresarlas en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para el [[campo electromagnético]].

La [[cuadricorriente]] <math>\, J^{\alpha}</math> está descrita por una [[1-forma]] y lleva la información sobre la distribución de cargas y corrientes. Sus componentes son:
{{ecuación|
<math>\, J^{\alpha} = (c \rho (\mathbf{r},t), \mathbf{J}(\mathbf{r},t))</math>
||left}}
Que debe cumplir la siguiente relación geométrica para que se cumpla la ecuación de continuidad.
{{ecuación|
<math>\, \delta J=0</math>
||left}}
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda:
{{ecuación|
<math>\partial_\alpha J^\alpha=0</math>
||left}}
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango, se utiliza el [[D'Alambertiano|operador de Laplace-Beltrami]] o laplaciana definida como:
{{ecuación|
<math>\Box=d\delta+\delta d</math>
||left}}
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial, que lleva la información del [[potencial eléctrico]] y el [[potencial vector magnético]].
{{ecuación|
<math>\Box^2 A=-\mu _0 J</math>
||left}}
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que:
:<math>\partial_\mu \partial^\mu A^\alpha=\mu _0 J^\alpha</math>

Expresión que reproduce las [[ecuación de onda electromagnética|ecuaciones de onda]] para los potenciales electromagnéticos.

La 1-forma A lleva la información sobre los potenciales de los observadores inerciales siendo sus componentes:
:<math>A^\alpha = \left(\frac {\Phi}{c},\mathbf{A} \right)</math>
Para obtener el objeto geométrico que contiene los campos, tenemos que subir el rango de A mediante el operador [[derivada exterior|diferencial exterior]] <math>\partial</math> obteniendo la 2-forma F campo electromagnético. En forma geométrica podemos escribir:
:<math>F=\mathrm{d}A</math>
Que expresado para un [[transformación de Lorentz|sistema inercial Lorentz]] tenemos que:
:<math>F^{\mu \nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu</math>
Con lo que obtenemos el [[Tensor de Faraday|tensor de campo electromagnético]].
:<math>F^{\mu \nu} =
\begin{bmatrix} 0 & -\cfrac {E_x}{c} & -\cfrac {E_y}{c} & -\cfrac {E_z}{c} \\
\cfrac {E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \cfrac {E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\
\cfrac {E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}</math>

=== Primer par de ecuaciones de Maxwell ===
Las siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes, relacionamos la cuadricorriente con el tensor campo electromagnético mediante la forma geométrica:
:<math>\, \delta F=\mu _0 J</math>
O bien en coordenadas Lorentz:
:<math>\partial_\mu F^{\mu \nu}=\mu _0 J^\nu</math>

==== Obtención de las ecuaciones ====
Para un observable en '''S''' partiendo de expresión en [[transformación de Lorentz|coordenadas Lorentz]] podemos obtener:
* Para <math>\, \nu = 0</math> tenemos que: <math>\partial_\mu F^{\mu 0}=\mu _0 J^0</math>, entonces:
:<math>\mu _0 c \rho (\mathbf{r},t)=\part_1 F^{1 0}+\part_2 F^{2 0}+\part_3 F^{3 0} = 
\frac {1}{c} \left [ \frac{\part E_x}{\part x}+\frac{\part E_y}{\part y}+\frac{\part E_z}{\part z} \right ]</math>
Por tanto:
:<math>\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\rho (\mathbf{r},t)}{\varepsilon_0}</math>
* Para <math>\, \nu = 1,2,3</math> podemos obtener de la misma forma que:
:<math>\nabla \wedge \mathbf{H}=\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}</math>

=== Segundo par de ecuaciones de Maxwell ===
Corresponden a las ecuaciones homogéneas. Escritas en forma geométrica tenemos que:
:<math>\, \delta * F=0</math>
Que corresponde con la expresión en los sistemas coordenados Lorentz:
:<math>\, \partial_\mu * F^{\mu \nu}=0</math>
Donde el tensor <math>\, * F</math> es el tensor dual de F. Se obtiene mediante el [[Dual de Hodge|operador de Hodge]].

==== Obtención de las ecuaciones ====
* Para <math>\, \nu = 0</math>:
:<math>\partial_\mu * F^{\mu 0}=\partial_1 * F^{1 0}+\partial_2 * F^{2 0}+\partial_3 * F^{3 0}=\left [ \frac{\part B_x}{\part x}+\frac{\part B_y}{\part y}+\frac{\partial B_z}{\part z} \right ]=0</math>
Por tanto: 
:<math>\nabla\cdot \mathbf{B}=0</math>
* Para <math>\, \nu = 1,2,3</math> se obtiene la ecuación vectorial:
:<math>\nabla \wedge \mathbf{E}+ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0</math>

La propiedad <math>\, \partial_\alpha * F^{\alpha \beta}=0</math> reproduce las ecuaciones de Maxwell internas, que se puede expresar como <math>\, d\mathbf{F}=0</math>, que se puede escribir en los sistemas coordenados Lorentz como:
:<math>\partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma}=0</math>

Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que describen el [[campo electromagnético]] en la siguiente tabla. La primera columna son las relaciones geométricas, independientes de cualquier observador; la segunda columna son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz; y la tercera es la descripción de la relación y la ley que cumple.

<center>
{| class="wikitable" border="1"
! Forma geométrica
! Covariante Lorentz
! Descripción
|-----
| <math>\, \delta A=0</math>
| <math>\, \partial_\mu A^\mu=0</math>
| Condición/gauge de Lorenz (*)
|-bgcolor="#EFEFEF"
| <math>\, F=d A</math>
| <math>F^{\mu \nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu</math>
| Definición de Campos Electromagnéticos
|-----
| <math>\Box A=\mu _0 J</math>
| <math>\partial_\mu \partial^\mu A^\alpha=\mu _0 J^\alpha</math>
| [[ecuación de onda|Ecuaciones de Ondas]]
|-bgcolor="#EFEFEF"
| <math>\begin{matrix} \delta F=\mu _0 J \\ \delta * F=0 \end{matrix}</math>
| <math>\begin{matrix} \partial_\mu F^{\mu \nu}=\mu _0 J^\nu \\ \partial_\mu * F^{\mu \nu}=0 \end{matrix}</math>
| Ecuaciones de Maxwell
|-----
| <math>\, \delta J=0</math>
| <math>\partial_\alpha J^\alpha=0</math>
| Ley de conservación de la Carga
|}
</center>
(*) ''Existe una confusión habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge. Las primeras ecuaciones en las que aparece tal condición (1867) se deben a Ludvig V. Lorenz, no al mucho más conocido [[Hendrik Lorentz|Hendrik A. Lorentz]]. (Véase: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd edition p.294)''

Finalmente el [[cuadrigradiente]] se define así:
:<math> { \partial \over { \partial x^{\alpha} }  } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \partial_{\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {}_{,\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left(\frac{\partial}{\partial ct}, \nabla\right)</math> 

Los índices repetidos se suman de acuerdo al [[convenio de sumación de Einstein]]. De acuerdo con el [[cálculo tensorial]], los índices pueden subirse o bajarse por medio de la matriz fundamental ''g''. 

El primer tensor es una expresión de dos ecuaciones de Maxwell, la [[ley de Gauss]] y la [[ley de Ampère]] generalizada; la segunda ecuación es consecuentemente una expresión de las otras dos leyes.

Se ha sugerido que el componente de la [[fuerza de Lorentz]] <math>\ \vec{v} \times \vec{B}</math> se puede derivar de la [[ley de Coulomb]] y por eso la [[relatividad especial]] asume la invarianza de la carga eléctrica.<ref>{{cita libro| autor= L. D. Landau, E. M. Lifshitz|título=The Classical Theory of Fields|id= ISBN 0-7506-2768-9|idioma= inglés| editorial = Butterworth-Heinemann|año=1980}}</ref><ref>{{cita web|url=http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm|autor=Richard E Haskell|año=2006|título=Special relativity and Maxwell equations|idioma=inglés|fechaacceso=23 de enero de 2008|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20080101005238/http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm|fechaarchivo=1 de enero de 2008}}</ref>

== Expresión de las ecuaciones para una frecuencia constante ==

En las ecuaciones de Maxwell, los [[campo vectorial|campos vectoriales]] no son solo funciones de la posición, en general son funciones de la [[posición]] y del [[tiempo]], como por ejemplo <math>\vec{H}(x,y,z,t)</math>. Para la resolución de estas ecuaciones en [[derivada parcial|derivadas parciales]], las variables posicionales se encuentran con la variable temporal. En la práctica, la resolución de dichas ecuaciones pueden contener una solución armónica ([[seno (matemáticas)|sinusoidal]]). 

Con ayuda de la [[número complejo|notación compleja]] se puede evitar la dependencia temporal de los resultados armónicos, eliminando así el factor complejo de la expresión <math>\ e^{i\omega t}</math>. Gran parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas, además de no ser solo función de la posición. En lugar de la derivación parcial en el tiempo se tiene la multiplicación del factor imaginario <math>\ i\omega</math>, donde <math>\ \omega</math> es la [[velocidad angular|frecuencia angular]].

En la forma compleja, las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma:<ref name="medio"/>
:<math>\vec{\nabla} \cdot \vec {D} = \rho</math>
:<math>\vec{\nabla} \cdot \vec {B} = 0</math>
:<math>\vec{\nabla} \times \vec{E} = -i\omega \vec {B}</math>
:<math>\vec{\nabla} \times \vec {H} = \vec{\imath} = (\sigma + i \omega \varepsilon) \vec{E}</math>

== Véase también ==
<!-- no tocar esto -->
* [[Electromagnetismo]]
* [[James Clerk Maxwell]], [[Oliver Heaviside]]
* [[Carga eléctrica|Carga]]
* [[Onda electromagnética]], [[ecuación de onda electromagnética]]
* [[Ecuaciones de Jefimenko]]
* [[Ley de Gauss]], [[Ley de Faraday]], [[Ley de Ampère]]
* [[Divergencia (matemática)|Divergencia]], [[Rotacional]]
* [[Teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman]]
*[https://eltamiz.com/files/Ecuaciones_Maxwell.pdf Ecuaciones de Maxwell explicadas para noobs]

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Enlaces externos ==
* [http://vacuum-physics.com/Maxwell/maxwell_oplf.pdf On Physical Lines of Force]
* {{Wikisource|idioma=en|A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field}}
* [http://www.monografias.com/trabajos14/maxwell/maxwell.shtml Monografías.com archivo sobre ecuaciones de Maxwell]
* [http://www.gr.ssr.upm.es/eym/www/eym2/index.htm#sld0019 Modelo de Maxwell]
* [http://www.upv.es/antenas/Documentos_PDF/Notas_clase/Fundamentos_radiacion.pdf Fundamentos de la radiación]
* [http://www.archive.org/details/electricandmagne01maxwrich A treatise on electricity and magnetism (1873) Vol. 1] PDF
* [http://www.archive.org/details/electricandmagne02maxwrich A treatise on electricity and magnetism (1873) Vol. 2] PDF

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Leyes electromagnéticas]]
[[Categoría:Ecuaciones epónimas de la física|Maxwell]]
[[Categoría:Ciencia y tecnología de Reino Unido del siglo XIX]]
[[Categoría:Ciencia de 1875]]
[[Categoría:Reino Unido en 1875]]