Ver el código de «Catenoide»

[[Image:Bulle caténoïde.png|thumb|Película de jabón entre dos aros.]]
 
Una '''catenoide''' es un tipo de superficie que se obtiene por rotación de una [[catenaria]] alrededor de un eje coplanario, perpendicular al eje de simetría y que no la corte.<ref>{{cite book|last1=Dierkes|first1=Ulrich|last2=Hildebrandt|first2=Stefan|last3=Sauvigny|first3=Friedrich|title=Minimal Surfaces|date=2010|publisher=[[Springer Science & Business Media]]|isbn=9783642116988|page=141|url=https://books.google.com/books?id=9YhBOg6vO-EC&pg=PA141|language=en}}</ref> Es una [[superficie minimal]],<ref name=Gullberg>{{cite book|last1=Gullberg|first1=Jan|title=Mathematics: From the Birth of Numbers|date=1997|publisher=[[W. W. Norton & Company]]| isbn=9780393040029| page=538| url=https://books.google.com/books?id=E09fBi9StpQC&pg=PA538| language=en}}</ref> lo que significa que ocupa el área mínima cuando está delimitada por un espacio cerrado. Fue descrita formalmente en 1744 por el matemático [[Leonhard Euler]].

Una [[película de jabón]] unida a anillos circulares gemelos, a causa de la [[tensión superficial]], tomará la forma de una catenoide.<ref name=Gullberg/> Debido a que son miembros de la misma [[familia asociada]] de superficies, una catenoide se puede doblar en una porción de un [[helicoide]] y viceversa.

== Geometría ==
[[Image:Catenoid.svg|thumb|right|alt=three-dimensional diagram of a catenoid|Una catenoide]]
[[Image:Catenoid.gif|thumb|right|Obtención de una catenoide a partir de la rotación de una catenaria]]

La catenoide fue la primera [[superficie (matemática)|superficie]] mínima no trivial en el espacio euclidiano tridimensional que se descubrió aparte del plano. La catenoide se obtiene al rotar una catenaria sobre su [[directriz]].<ref name=Gullberg/> Fue encontrada y probado que era un mínimo por [[Leonhard Euler]] en 1744.<ref>{{cite book|last1=Helveticae|first1=Euler, Leonhard |editor= Carathëodory Constantin |title=Methodus inveniendi lineas curvas: maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti |date=1952 |orig-year=reprint of 1744 edition |publisher=Springer Science & Business Media  |isbn=3-76431-424-9 |language=Latin |url=https://books.google.com/books/about/Methodus_inveniendi_lineas_curvas_maximi.html?id=zNDdVFZalSAC}}</ref><ref name=Colding06>{{cite journal|last1=Colding|first1=T. H.|last2=Minicozzi|first2=W. P.|title=Shapes of embedded minimal surfaces|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|date=17 de julio de 2006| volume=103| issue=30| pages=11106–11111| doi=10.1073/pnas.0510379103|pmc=1544050}}</ref> 
El primer trabajo sobre el tema fue publicado también por [[Jean Baptiste Meusnier]].<ref name=salvert>{{cite book|url=https://archive.org/details/mmoiresurlathor00salvgoog|format=PDF|last1=Meusnier|first1=J. B|title=Mémoire sur la courbure des surfaces|trans-title=Memory on the curvature of surfaces.|date=1881|publisher=F. Hayez, Imprimeur De L'Acdemie Royale De Belgique|location=Bruxelles|language=francés|isbn=9781147341744|pages=477–510}}</ref><ref name=Colding06/>{{rp|11106}} Solo hay dos [[superficies mínimas de revolución]] ([[Superficie de revolución|superficies de revolución]] que también son superficies mínimas): el [[plano (geometría)|plano]] y la catenoide.<ref>{{cite web|title=Catenoid|url=http://mathworld.wolfram.com/Catenoid.html|website=Wolfram MathWorld|accessdate=15 de enero de 2017|language=en}}</ref>

La catenoide se puede definir mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

{{ecuación|<math>x=c \cosh \frac{v}{c} \cos u</math>}}
{{ecuación|<math>y=c \cosh \frac{v}{c} \sin u</math>}}
{{ecuación|<math>z=v</math>}}

donde:<math>u \in [-\pi, \pi)</math> y <math>v \in \mathbb{R}</math> y <math>c</math> una constante real distinta de cero.

En coordenadas cilíndricas:

{{ecuación|<math>\rho =c \cosh \frac{z}{c}</math>}}

:donde <math>c</math> es una constante real.


Se puede formar un modelo físico de una catenoide sumergiendo dos anillos circulares en una solución jabonosa y separando lentamente los círculos.

La catenoide también se puede definir aproximadamente mediante el [[método de cuadrícula estirada]] como un modelo 3D facetado.
== Transformación helicoide ==
[[Image:helicatenoid.gif|thumb|right|Animación que muestra un [[helicoide]] deformándose en un catenoide y vuelta a un helicoide]]
Como son miembros de la misma [[familia asociada]] de superficies, se puede doblar una catenoide en una porción de un [[helicoide]] sin estirarse. En otras palabras, se puede hacer (en su mayoría) una deformación [[función continua|continua]] e [[isométrica]]  de una catenoide hasta una porción del helicoide de tal manera que cada miembro de la familia de deformación sea mínimal (teniendo una [[curvatura media]] de cero). Una [[ecuación paramétrica|parametrización]] de tal deformación es dada por el sistema:

{{ecuación|<math>x(u,v) = \cos \theta \,\sinh v \,\sin u + \sin \theta \,\cosh v \,\cos u</math>}}
{{ecuación|<math>y(u,v) = -\cos \theta \,\sinh v \,\cos u + \sin \theta \,\cosh v \,\sin u</math>}}
{{ecuación|<math>z(u,v) = u \cos \theta + v \sin \theta </math>}}

para <math>(u,v) \in (-\pi, \pi] \times (-\infty, \infty)</math>, con parámetros de deformación <math>-\pi < \theta \le \pi</math>, donde:
:<math>\theta = \pi</math> corresponde a un helicoide diestro,
:<math>\theta = \pm \pi / 2</math> corresponde a una catenoide, y
:<math>\theta = 0</math> corresponde a un helicoide zurdo.
== Véase también ==
* [[Hiperboloide]]
== Notas ==
{{reflist}}

== Referencias ==
{{traducido ref|en|Catenoid}}

== Bibliografía ==
* {{cite book |last1=Krivoshapko |first1=Sergey |last2=Ivanov |first2=V. N. |title=Encyclopedia of Analytical Surfaces |date=2015 |publisher=Springer |isbn=9783319117737 |chapter=Minimal Surfaces |chapter-url=https://books.google.com/books?id=cXTdBgAAQBAJ&pg=PA427 |language=en}}

== Enlaces externos ==
* {{springer|title=Catenoid|id=p/c020800}}
* [http://www.princeton.edu/~rvdb/WebGL/catenoid.html Catenoid - WebGL model]
* [http://posner.library.cmu.edu/Posner/books/book.cgi?call=517.4_E88M_1744 Euler's text describing the catenoid] at Carnegie Mellon University
* [http://www.mathcurve.com/surfaces/catenoid/catenoid.shtml mathcurve.com]
* [https://web.archive.org/web/20051227065147/http://www.upc.es/ea-smi/personal/claudi/web3d/espanyol/cat_cat.htm upc.es]
* [http://serge.mehl.free.fr/anx/triedre_ribaucour.html serge.mehl.free.fr]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Superficies]]
[[Categoría:Ciencia y tecnología de Alemania del siglo XVIII]]
[[Categoría:Ciencia de 1744]]